Concetti fondamentali di fisica quantistica

lezione
Concetti fondamentali di fisica quantistica
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Meccanica quantistica

Concetti fondamentaliModifica

Funzione d'ondaModifica

Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (a valori complessi)  . Il quadrato del modulo   di tale funzione (dove   oppure   indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante   di coordinate   .

Autovalori e autofunzioniModifica

Consideriamo una grandezza fisica   caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza   sono i valori   che la grandezza può assumere, e le autofunzioni   sono le funzioni d'onda degli stati in cui  .

OperatoriModifica

Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza   sono determinati dall'equazione

 

dove   è l'operatore associato alla grandezza.

Il valore medio di  , nello stato descritto dalla funzione d'onda  , è

 

Spettro discretoModifica

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza   con uno spettro discreto:

 

Spettro continuoModifica

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza   con uno spettro continuo:

 

Operatore impulsoModifica

Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:

 

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

 

Relazioni di indeterminazione:

 

Il valore minimo dell'indeterminazione è  , e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltonianoModifica

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

 

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici  . A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

 

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo   dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

MatriciModifica

Gli elementi di matrice di una grandezza   sono definiti dallo sviluppo delle funzioni   sul sistema ortonormale   costituito dalle autofunzioni dell'energia:

 

Gli elementi diagonali   sono i valori medi della grandezza   negli stati  

Elementi di matrice dipendenti dal tempo: