Concetti fondamentali di fisica quantistica

Concetti fondamentali

Funzione d'onda

Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (a valori complessi) $\Psi (q,t)$. Il quadrato del modulo $|\Psi |^{2}={\bar {\Psi }}\Psi$ di tale funzione (dove ${\bar {\Psi }}$ oppure ${\Psi ^{*}}$ indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante $t$ di coordinate $q$ .

Autovalori e autofunzioni

Consideriamo una grandezza fisica $f$ caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza $f$ sono i valori $f_{n}$ che la grandezza può assumere, e le autofunzioni $\Psi _{n}$ sono le funzioni d'onda degli stati in cui $f=f_{n}$.

Operatori

Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza $f$ sono determinati dall'equazione

${\hat {f}}\Psi =f\Psi$

dove ${\hat {f}}$ è l'operatore associato alla grandezza.

Il valore medio di $f$, nello stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi$, è

$<f>=\int \Psi ^{*}{\hat {f}}\Psi \,dq$

Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro discreto:

$\Psi =\sum a_{n}\Psi _{n}\qquad a_{n}=\int \Psi _{n}^{*}\Psi \,dq$

Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro continuo:

$\Psi (q)=\int a_{f}\Psi _{f}(q)\,df\qquad a_{f}=\int \Psi _{f}^{*}(q)\Psi (q)\,dq$

Operatore impulso

Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:

${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

$[{\hat {p}}_{i},x_{j}]=-i\hbar \delta _{ij}$

Relazioni di indeterminazione:

$\Delta p_{i}\Delta x_{i}\sim \hbar$

Il valore minimo dell'indeterminazione è $\hbar /2$, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

${\hat {\mathcal {H}}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici ${\mathcal {E}}_{n}$. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

$\Psi _{n}(q,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {E}}_{n}t\right)\psi _{n}(q)$

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo ${\mathcal {E}}_{0}$ dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza $f$ sono definiti dallo sviluppo delle funzioni ${\hat {f}}\psi _{n}$ sul sistema ortonormale $\left\{\psi _{n}\right\}$ costituito dalle autofunzioni dell'energia:

$f_{mn}=\int \psi _{m}^{*}{\hat {f}}\psi _{n}\,dq$

Gli elementi diagonali $f_{nn}$ sono i valori medi della grandezza $f$ negli stati $\psi _{n}$

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

$f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega _{mn}t},\qquad \omega _{mn}={\frac {{\mathcal {E}}_{m}-{\mathcal {E}}_{n}}{\hbar }}$