Completamento della derivazione dei gruppi del piano
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La nuova operazione sopra introdotta — abbiamo indicato con g il relativo operatore — ci consente di completare la derivazione dei gruppi del piano. A tal fine dovremo prevedere, accanto a gruppi del piano che presentano linee di simmetria, corrispondenti gruppi del piano in cui le linee di simmetria siano sostituite da scorrimenti (glides), qualora gli scorrimenti non siano già necessariamente presenti per le ragioni illustrate nel precedente sottocapitolo 6.3.2.
Accanto al gruppo pm, pertanto, introdurremo il gruppo pg e accanto al gruppo p2mm introdurremo i gruppi p2mg e p2gg: nel primo di essi si hanno linee di simmetria in una direzione e scorrimenti nella direzione ortogonale, nel secondo si hanno scorrimenti in entrambe le direzioni.
Per le ragioni discusse nel precedente sottocapitolo 6.3.2. il gruppo cm è caratterizzato dalla contemporanea presenza di linee di riflessione m e glides g che regolarmente si alternano lungo una direzione; d'altra parte il gruppo c2mm è caratterizzato dalla contemporanea presenza di linee di riflessione e glides regolarmente alternati lungo due direzioni ortogonali. Pertanto non si hanno, in tali casi, nuovi distinti gruppi del piano.
Simili considerazioni possono essere svolte per p3m1, p31m, p6mm. Valga ad esempio il caso di p3m1. Si può osservare (Fig. 25) che le linee di simmetria ortogonali ad a sono parallele ad un lato della cella rettangolare centrata con vertici A, Ai, Aii, Aiii.
Per le considerazioni fatte nel paragrafo 6.3.2. tali linee comportano di necessità la compresenza di glides con esse regolarmente alternati. Le linee di simmetria ortogonali a b sono parallele ad un lato della cella rettangolare centrata con vertici A, Aiv, Aii, Av e comportano la compresenza di glides con esse alternati. Infine le linee di simmetria ortogonali ad a + b sono parallele ad un lato della cella rettangolare centrata con vertici Aiii, Aiv, Ai, Av e comportano la compresenza di glides con esse alternati.
Simili risultati si ottengono analizzando i gruppi del piano p31m e p6mm. In conclusione non si hanno, anche in tali casi, nuovi distinti gruppi del piano.
L'ultimo gruppo da prendere in considerazione è il gruppo p4mm. La distribuzione degli operatori di simmetria di tale gruppo del piano è rappresentata in Fig. 26a. Si osserva che, accanto ai punti di rotazione di ordine 4 e a quelli di ordine 2 si hanno, parallelamente ai vettori a, b, a + b, a - b, linee di simmetria. Tuttavia, mentre parallelamente ad a e b si hanno esclusivamente linee di simmetria ‘semplici' nelle direzioni a + b ed a - b si alternano regolarmente linee m e glides g; per tali direzioni, infatti, le linee di simmetria sono parallele ai lati di un reticolo centrato (Fig. 26a). Per tali direzioni linee di simmetria e glides saranno sempre necessariamente compresenti. Per quanto riguarda l'altra direzione la sostituzione delle linee di simmetria con glides è possibile collocando questi ultimi come indicato dalla Fig. 26b; in tal modo i glides sono compatibili con gli operatori rotazionali propri. La notazione appropriata per tale gruppo del piano è p4mg.
Nella Tabella 6 sono elencati i 17 gruppi del piano, raggruppati secondo i cinque tipi di reticolo compatibili con essi. Nella Fig. 27 sono rappresentate possibili strutture corrispondenti ai 17 gruppi del piano e costruite utilizzando la stessa unità asimmetrica.
| Tipo di reticolo | Gruppi del piano |
| Parallelogramma, p | p1, p2 |
| Rettangolo, p | pm, pg, p2mm, p2gg, p2mg |
| Rettangolo centrato, c | cm, c2mm |
| Quadrato, p | p4, p4mm, p4mg |
| Rombo a 120°, p | p3, p3m1, p31m, p6, p6mm |
