Compattezza di un insieme

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Compattezza di un insieme
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Compattezza di un insiemeModifica

Un insieme   si dice compatto se da ogni successione di punti di   si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di  .

Prima di vedere alcune proprietà degli insiemi compatti, premettiamo il seguente Lemma.

LemmaModifica

  chiuso     successione in    .

DimostrazioneModifica

    chiuso significa  , dunque se   ed   è chiuso, allora  .
Ora, considerando una successione   convergente ad un  , per il Lemma 1.1.2 (al quale sostituiamo   con  )   e dunque  .

  Se ogni successione in   convergente a   implica che  , deve per forza essere   chiuso. Infatti, se per assurdo  , esiste almeno un   che però non sta in  .

Però, sempre per il Lemma 1.1.2 (e sempre sostituendo gli insiemi in considerazione), se   esiste una successione in   convergente a  . Ma abbiamo ipotizzato prima che ogni successione in   convergente ad un punto   implicasse  ! Cadiamo in contraddizione e dunque completiamo così la dimostrazione.

 


 Nota:
completare gli ultimi due teoremi