Compattezza di un insieme

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Compattezza di un insieme

Un insieme $A\subseteq \mathbb {R}$ si dice compatto se da ogni successione di punti di $A$ si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di $A$.

Prima di vedere alcune proprietà degli insiemi compatti, premettiamo il seguente Lemma.

Lemma

$A$ chiuso $\Longleftrightarrow$ $(x_{n})$ successione in $A\ :\ x_{n}\to x_{0}$ $\Rightarrow x_{0}\in A$.

Dimostrazione

$\Rightarrow )\$ $A$ chiuso significa $A={\overline {A}}$, dunque se $x_{0}\in A$ ed $A$ è chiuso, allora $x_{0}\in {\overline {A}}$.
Ora, considerando una successione $x_{n}$ convergente ad un $x_{0}\in \mathbb {R}$, per il Lemma 1.1.2 (al quale sostituiamo $A\setminus \{x_{0}\}$ con $A$) $x_{0}\in {\overline {A}}$ e dunque $x_{0}\in A$.

$\Leftarrow )\$ Se ogni successione in $A$ convergente a $x_{0}$ implica che $x_{0}\in A$, deve per forza essere $A$ chiuso. Infatti, se per assurdo $A\neq {\overline {A}}$, esiste almeno un $x_{0}\in {\overline {A}}$ che però non sta in $A$.

Però, sempre per il Lemma 1.1.2 (e sempre sostituendo gli insiemi in considerazione), se $x_{0}\in {\overline {A}}$ esiste una successione in $A$ convergente a $x_{0}$. Ma abbiamo ipotizzato prima che ogni successione in $A$ convergente ad un punto $x_{0}\in \mathbb {R}$ implicasse $x_{0}\in A$! Cadiamo in contraddizione e dunque completiamo così la dimostrazione.

$\Box$

Nota:
completare gli ultimi due teoremi