Classificazione dei quadrilateri (scuola media)

In geometria il quadrilatero^VK è un poligono con quattro lati^VK, e quindi quattro vertici^VK e quattro angoli^VK, e due diagonali^VK. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare diagonali^VK.

lezione Classificazione dei quadrilateri (scuola media)
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica per la scuola media 1
	Avanzamento: lezione completa al 50%

Video per chi non ama leggere: i quadrilateri Schooltoon, Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 19 ott 2020.

I quadrilateri^VK possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i lati^VK, tra gli angoli^VK e per le caratteristiche delle loro diagonali^VK.

Elementi nel quadrilatero

Quadrilateral elements

Gli elementi di un quadrilatero sono:

i vertici $A,B,C\ e\ D$ (sono punti)
i lati $AB,BC,CD,DA$ (sono segmenti)
gli angoli interni ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}}$ , nella figura è evidenziato il solo angolo interno ${\hat {DAB}}$
gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è evidenziato solo l'angolo formato dal prolungamento del lato $DA$ con il lato $AB$
le diagonali $AC\ e\ BD$

Nel quadrilatero:

i lati $AB$ e $BC$ sono consecutivi
i lati $AB$ e $BC$ sono adiacenti all'angolo ${\hat {B}}$
i lati $AB$ e $CD$ sono opposti
gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ sono adiacenti al lato $AB$
gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {C}}$ sono opposti
i vertici $A$ e $B$ sono consecutivi
le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi

osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi.

Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero

Quadrilateri convessi

Somma angoli interni

La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo:

 $S=2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$

Diagonaaldriehoek2

cosa che corrisponde anche all'applicazione della formula generale

 $S=(n-2)\cdot 180^{\circ }$

 $S=2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$

e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano

 $S={\frac {2\cdot 180^{\circ }}{4}}={\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }$

Numero delle diagonali

Anche il numero delle diagonali in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il numero delle diagonali si può applicare la formula

 $N_{d}={\frac {n\cdot (n-3)}{2}}$

che per un quadrilatero diventa

 $N_{d}={\frac {4}{2}}=2$

Quadrilateri inscritti

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.^[1]

Quadrilatero inscritto

Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.

Quadrilateri circoscritti

Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti.