Cinematica in due dimensioni

Tratteremo l'argomento vettori e scalari in maniera molto più veloce e superficiale di quanto non viene fatto in Geometria, ma il nostro scopo non è una trattazione approfondita di questi argomenti quanto riuscire a fare determinate operazioni con i vettori (somma e prodotto per scalari) e trovare il modulo di un vettori in determinate circostanza. Per noi dunque i vettori saranno solo strumenti per affrontare i concetti successivi più che argomento di studio vero e proprio.

Lezione 2:
Cinematica in due dimensioni: il moto di un proiettile.

Vettori

Un vettore è una grandezza caratterizzata da

• modulo (valore numerico)
• direzione (stanno lungo la stessa retta)
• verso (puntano lungo lo stesso verso)

mentre uno scalare altro non è in pratica che un numero reale. Un vettore si può rappresentare graficamente in un sistema di coordinate

Le grandezze vettoriali verranno denotate in grassetto (es. $\mathbf {v}$) mentre le grandezze scalare no. Vediamo ora alcune operazioni a noi utili con i vettori.

Operazioni con i vettori

I vettori possono essere sommati tra loro, restituendo un vettore somma risultante. È possibile sommare graficamente i vettore con la regola del parallelogramma, ma noi lo faremo attraverso le componenti dei vettori. Un generico vettore $\mathbf {v}$ n-dimensionale è del tipo

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},...,v_{n})$

con $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ scalari. La somma di due vettori $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ è definita nel modo seguente:

$\mathbf {v} +\mathbf {w} =(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},...,v_{n}+w_{n})$.

La moltiplicazione per uno scalare $\lambda$ è invece definito nel modo seguente:

$\lambda \mathbf {v} =(\lambda v_{1},\lambda v_{2},...,\lambda v_{n})$.

Quando i vettori hanno la stessa direzione (o siamo in dimensione 1), operare con i vettori risulta molto semplice. La cosa si complica un po' quando entriamo in dimensione 2 e i vettori non hanno la medesima direzione, come in figura qui sotto.

In questo caso, la soluzione sembra facile. $\mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {w}$ si risolve facilmente con il Teorema di Pitagora. Ma se la situazione è diversa? se $\alpha$ non dovesse essere un angolo retto? In questo caso ci viene in aiuto la trigonometria.

Dalla trigonometria abbiamo che

$\left\{{\begin{array}{l}\sin \alpha ={\frac {CD}{OD}}\\\cos \alpha ={\frac {OC}{OD}}\\\tan \alpha ={\frac {CD}{OC}}\end{array}}\right.$

Con i vettori, abbiamo che $\mathbf {w} =(w_{x},w_{y})=(v,u)=(OC,OA=CD)$ da cui

$\left\{{\begin{array}{l}\sin \alpha ={\frac {w_{y}}{W}}\\\cos \alpha ={\frac {w_{x}}{W}}\\\tan \alpha ={\frac {w_{y}}{w_{x}}}\end{array}}\right.$

Possiamo finalmente ricavare le componenti del vettore $\mathbf {w}$ conoscendo l'angolo $\alpha$ e il modulo (lunghezza) di $\mathbf {w}$ in questo modo:

$\left\{{\begin{matrix}w_{x}=\mathbf {w} \cdot \cos \alpha \\w_{y}=\mathbf {w} \cdot \sin \alpha \\\alpha =\tan ^{-1}{\frac {w_{y}}{w_{x}}}\end{matrix}}\right.$

$\mid \mathbf {w} \mid ={\sqrt {w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}$

Dopo questo breve ripasso di trigonometria (che però ci sarà indispensabile), finalmente possiamo studiare i moti bidimensionali, tutti riconducibili al caso del moto di un proiettile.

Moto di un proiettile

Un pallone da calcio lanciato in aria, un proiettile sparato da un cannone, un oggetto qualsiasi lanciato in aria, sono tutti esempi del moto di un proiettile, cioè di un moto dove valgono le relazioni viste nella lezione precedente per ogni direzione (verticale e orizzontale).

Assumiamo che il moto abbia inizio al tempo $t=0$ in un sistema di coordinate $Oxy$. Tale moto è suddiviso in due moti separati: il moto orizzontale e il moto verticale (dovuto alla forza di gravità). Esaminiamo prima quella verticale $y$. Il moto lungo l'asse verticale è un moto uniformemente accelerato (l'accelerazione è la forza di gravità), la cui traiettoria è data dalla seconda equazione della cinematica (visto che ci interessa di trovare la traiettoria) considerando l'asse $y$ e la forza di gravità come accelerazione:

$y=y_{0}+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}$ (notare il segno - in fondo dovuta alla gravità che esercita un'accelerazione verso il basso)

Nella direzione orizzontale non c'è accelerazione e l'asse $x$ nel moto di un proiettile rappresenta il tempo, quindi l'equazione adatta è ancora la seconda:

$x=x_{0}+v_{0}t\rightarrow t={\frac {x-x_{0}}{v_{x_{0}}}}$

Per trovare la traiettoria del proiettile ($y$) ci basta sostituire l'ultima equazione nella prima, cioè:

$y=y_{0}+v_{0}{\frac {x-x_{0}}{v_{x_{0}}}}-{\frac {1}{2}}g\left({\frac {x-x_{0}}{v_{x_{0}}}}\right)^{2}$

Sviluppando i calcoli si trova che questa è l'equazione di una parabola rivolta verso il basso, come ci si aspetta di trovare osservando il normale moto di un oggetto che viene lanciato e forma una parabola.

Esempio

Un proiettile viene sparato da un cannone con un angolo di 37° ad una velocità di 300 metri al secondo. Quale altezza massima raggiungerà il proiettile?

Calcoliamo la velocità verticale e orizzontale quando il proiettile lascia il cannone.

$v_{y}=v_{0}\sin 37^{\circ }=180.54{\frac {\rm {m}}{\rm {s}}}$

$v_{x}=v_{0}\cos 37^{\circ }=240{\frac {\rm {m}}{\rm {s}}}$

Alla massima altezza, la velocità ha direzione orizzontale e quindi $v_{y}=0$. Questo avviene quando

$v_{y}=v_{y_{0}}-gt\rightarrow t={\frac {v_{y_{0}}}{g}}$

Quindi la massima altezza viene raggiunta al tempo ${\frac {v_{y_{0}}}{g}}=18.3{\rm {s}}$, e in questo tempo l'altezza del proiettile è

$y={\frac {v_{y_{0}}^{2}-v_{y}^{2}}{2g}}={\frac {180.5^{2}-0}{2g}}=1662.5{\rm {m}}$.

Gittata di un proiettile

La gittata di un proiettile è il tempo totale di volo del proiettile stesso. Si calcola ponendo y = 0 in:

y = y0+v0t-1/2gt2

da cui, se anche y₀= 0, abbiamo:

0 = v0t-1/2gt2 

che risolto rispetto a t, e avendo cura di considerare solo il valore positivo, darà il risultato della gittata, cioè il tempo totale di volo.

Nell'esempio di prima abbiamo:

0 = 180.5t -1/2* 9,81t2
0 = 180.5t-4,9t2

cioè la gittata vale:

t1= 0 (che non si considera)
t2= 180.5/4.9 = 36.8s

Sostituendo t all'equazione x = x₀+v₀t otteniamo anche il valore x di arrivo del proiettile, cioè i metri che ha percorso dall'inizio alla fine lungo l'asse x.