Cinematica e statica del corpo rigido

Cinematica del corpo rigido

Sistema di punti materiali

Si definisce col nome di sistema di punti materiali un qualunque aggregato formato da i corpi puntiformi, ognuno caratterizzato dall'avere una massa $m_{i}$ e per i quali i vettori posizione relativa rimangono invariati anche se il sistema di punti è soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni possiamo definire quali sono i gradi di libertà del sistema di punti, operando come se si trattasse di un unico corpo.

Gradi di libertà

Se indichiamo con la lettera g il numero di coordinate generalizzate necessarie e sufficienti per descrivere la configurazione del sistema di punti materiali (in modo equivalente si dice che il corpo presenta g gradi di libertà), allora il sistema può assumere $\infty ^{g}$ configurazioni differenti, in quanto ogni grado di libertà permette infinite possibili configurazioni.

Esempio 1: consideriamo un disco libero di muoversi su un piano. Se vogliamo conoscere la configurazione del disco in un determinato istante di tempo dobbiamo essere a conoscenza di 2 parametri che ne definiscono la posizione rispetto all'origine del sistema di riferimento. Tali parametri sono:

• il vettore posizione r(x,y) che esprime la posizione del baricentro G del disco
• l'angolo di rotazione $\beta$ del disco rispetto ad una determinata condizione iniziale

È evidente che il vettore posizione è funzione delle due coordinate x ed y del baricentro, quindi in sostanza i parametri che sono necessari per conoscere l'esatta configurazione del disco sono 3.

Equazioni di vincolo

Viene definito col nome di vincolo un qualsiasi dispositivo che limita le posizioni e/o le velocità del sistema di punti materiali. Ogni vincolo è sempre esprimibile con una opportuna equazione di vincolo del tipo:

$f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n},{\dot {x_{1}}}{\dot {x_{2}}},...,{\dot {x_{n}}},t\right)\geq 0$

dove $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ rappresentano le posizioni degli n elementi del sistema e ${\dot {x_{1}}}{\dot {x_{2}}},...,{\dot {x_{n}}}$ rappresentano invece le velocità degli n elementi del sistema.

Riprendiamo l' Esempio 1: il disco era vincolato a muoversi sul piano x-y e in tal caso l'equazione di vincolo può essere scritta semplicemente nella forma $z_{G}=0$, in quanto non abbiamo altre limitazioni né sulle posizioni né sulle velocità dei punti appartenenti al disco.

Corpo rigido

Cinematica linearizzata

Se andiamo a collocare il sistema di punti materiali definito in precedenza in un generico spazio tridimensionale caratterizzato dall'avere un sistema di riferimento, per conoscere la posizione di ogni punto materiale costituente il sistema sarà sufficiente conoscere le coordinate di uno solo dei punti materiali, in quanto le coordinate degli altri punti appartenenti al sistema si potranno facilmente ricavare avendo a disposizione le informazioni relative alle mutue posizioni dei punti facenti parte del sistema stesso.

Statica del corpo rigido

Sistema di forze equivalenti ed equilibranti

Con il termine corpo rigido vengono indicati quei corpi che, se sottoposti ad azioni esterne, non subiscono alcun tipo di deformazione. È ovvio che tale semplificazione si discosta dalle situazioni reali nelle quali è indubbia la presenza di deformazioni (seppur infinitesime) dei corpi.