Cinematica (meccanica razionale)

lezione
Cinematica (meccanica razionale)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Meccanica razionale
Lezione 1:
Cinematica

Cinematica del puntoModifica

  Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Cinematica del punto.

Moto di un punto P nello spazioModifica

Il moto di P è noto rispetto alla terna Oxyz tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

 

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

 

Consideriamo il caso in cui il punto P si muova su di una traiettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

 

e la legge oraria

 

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di P lungo la l, cioè in qual maniera nel tempo P percorre gli spazi sulla l.

Velocità scalareModifica

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

 

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traiettoria definita dalle (1) quando:

 

Velocità vettorialeModifica

Supponendo che la traiettoria di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curvs nel punto P mediante le seguenti formule:

 

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

 

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

 

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

AccelerazioneModifica

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

 

Eseguendo la derivazione abbiamo:

 

e ricordando che:

 

e derivando rispetto a t:

 
 

Il vettore

 

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

 

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

 

Cinematica dei moti rigidiModifica

Si dice, che il moto di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazioneModifica

Chiameremo con   e   due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della  , non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della  .

Se   e   sono due punti corrispondenti, il vettore   dicesi lo spostamento del punto  . Se:

 

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione   è dedotta da   mediante una traslazione semplice di vettore  . Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra     , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di  , ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra   e  , poiché

 

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di   descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Moto di rotazioneModifica

Supponiamo ora che le due figure componenti   e   abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ora un punto   di   non appartenente all'asse e sia   il suo corrispondente in  . Mandiamo dal punto   la normale all'asse O , e conduciamo anche la O , lo O  risulterà essendo   corrispondente di   normale all'asse ed  .

Allora fecendo descrivere a  , l'arco i cerchio  , la figura   si sovrapporrà ad  , in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui a ruotato il piano   formato da   e l'asse, per andare a coincidere con il piano   formato da   e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolareModifica

Preso un piano di riferimento fisso del corpo passante per l'asse e se   è l'angolo che un piano mobile passante per l'asse forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

 

nel caso che

 

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettorialeModifica

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore   che ha per modulo  , e direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

FIGURA

Velocità di un puntoP in un moto di rotazione.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

 

Moto elicoidaleModifica

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità   intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza   , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidiModifica

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con   e   le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

 

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento  ,  ,  , e se  ,  ,   sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

 

Per cui la velocità di P,  , è uguale a  , mentre quelli di =,  , è data da  . Posto ciò abbiamo che:

 

Il vettore   potrà essere epresso in generale come:

 

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

 

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che  . La (8) si riduce allora:

 

Vogliamo ora dimostrare che:

 

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale prodotto scalare
   
   
   

Inoltre possiamo scrivere:

 
 
 

cioè

 
 
 

Il vettore   potrà essere espresso in generale come:

 

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per  ,  ,   otteniamo:

 
 
 

Si ottiene

 
 .

E se definiamo:

 

otteniamo le (10):

 

ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigidoModifica

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

 

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed   il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

 

Cioè:

 

In quanto per le (13) si ha:

 

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

 

Le espressioni cartesiane delle componenti di   rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

 
 

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidiModifica

velocitàModifica

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili       sono date proiettando la formula fondamentale:

 

Cinematica del punto nel moto relativoModifica

Teorema di CoriolisModifica

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

 
 
 

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1-Parametri del moto della terna mobile.
2-Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assolutaModifica

O,x,y,z è il sistema di assi mobili ed il suo moto è individuato dalle componenti della velocità di traslazione  ,  ,   del punto O rispetto agli assi stessi, e dal vettore rotazione   diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti rispetto agli assi mobili p, q, r.

Se   è l'origine degli assi fissi avremo:

 

La velocità assoluta è data da:

Accelerazione assolutaModifica