Cinematica (meccanica razionale)

Lezione 1:
Cinematica

Cinematica del punto

Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Cinematica del punto.

Moto di un punto P nello spazio

Il moto di P è noto rispetto alla terna Oxyz tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

${\bar {\mathbf {OP} }}={\bar {\mathbf {OP} }}(t)$

Consideriamo il caso in cui il punto P si muova su di una traiettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\left\{{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}}\right.$

e la legge oraria

$S=S(t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di P lungo la l, cioè in qual maniera nel tempo P percorre gli spazi sulla l.

Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

${ds \over dt}={\dot {s}}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traiettoria definita dalle (1) quando:

${\dot {s}}(t)=cost$

Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettoria di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curvs nel punto P mediante le seguenti formule:

$\left\{{\begin{matrix}T_{x}={\frac {dx \over ds}{\sqrt {({dx \over ds})^{2}+({dy \over ds})^{2}+({dz \over ds})^{2}}}}={dx \over ds}\\T_{y}={dy \over ds}\\T_{z}={dz \over ds}\end{matrix}}\right.$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

${\vec {T}}={\vec {i}}T_{x}+{\vec {j}}T_{y}+{\vec {z}}T_{z}$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

${\vec {v}}={\dot {s}}(t)\cdot {\vec {T}}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

${\bar {\mathbf {a} }}={d \over dt}{\bar {\mathbf {v} (t)}}={d \over dt}({\dot {s}}{\bar {\mathbf {T} }})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

${\bar {\mathbf {a} }}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\dot {s}}{d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}$

e ricordando che:

${\bar {\mathbf {T} }}={d \over ds}x(s)i+{d \over ds}y(s)j+{d \over ds}z(s)k$

e derivando rispetto a t:

${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}=i{d^{2} \over ds^{2}}x(s){d \over dt}s(t)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s){d \over dt}s(t)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s){d \over dt}s(t)$

${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\dot {s}}(i{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s))$

Il vettore

$i{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

${\frac {1}{\rho }}={\sqrt {({d^{2} \over ds^{2}}x(s))^{2}+({d^{2} \over ds^{2}}y(s))^{2}+({d^{2} \over ds^{2}}z(s))^{2}}}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

${\dot {a}}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\frac {{\ddot {s}}^{2}}{\rho }}{\bar {\mathbf {N} }}$

Cinematica dei moti rigidi

Si dice, che il moto di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione

Chiameremo con $S_{1}$ e $S_{2}$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S_{1}$, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S_{2}$.

Se $A_{1}$ e $A_{2}$ sono due punti corrispondenti, il vettore ${\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}$ dicesi lo spostamento del punto $A_{1}$. Se:

${\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}={\bar {\mathbf {{B_{1}}{B_{2}}} }}=.....={\bar {\mathbf {{N_{1}}{N_{2}}} }}={\bar {\mathbf {a} }}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S_{2}$ è dedotta da $S_{1}$ mediante una traslazione semplice di vettore ${\vec {a}}$. Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S_{1}$ $S_{2}$ , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S_{1}$, ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S_{1}$ e $S_{2}$, poiché

${\vec {AA'}}={\vec {BB'}}$

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S_{1}$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Moto di rotazione

Supponiamo ora che le due figure componenti $S_{1}$ e $S_{2}$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ora un punto $P_{1}$ di $S_{1}$ non appartenente all'asse e sia $P_{2}$ il suo corrispondente in $S_{2}$. Mandiamo dal punto $P_{1}$ la normale all'asse O$P_{1}$, e conduciamo anche la O$P_{2}$, lo O$P_{2}$ risulterà essendo $P_{2}$ corrispondente di $P_{1}$ normale all'asse ed $OS_{2}=OS_{1}$.

Allora facendo descrivere a $P_{1}$, l'arco i cerchio $P_{1}P_{2}$, la figura $S_{1}$ si sovrapporrà ad $S_{2}$, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui a ruotato il piano $\alpha _{1}$ formato da $P_{1}$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano $\alpha _{2}$ formato da $P_{2}$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso del corpo passante per l'asse e se $\theta$ è l'angolo che un piano mobile passante per l'asse forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

${\dot {\theta }}={d \over dt}\theta (t)=\omega$

nel caso che

${d^{2} \over dt^{2}}\theta (t)={\ddot {\theta }}=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore ${\vec {\Omega }}$ che ha per modulo $\omega$, e direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

FIGURA

Velocità di un puntoP in un moto di rotazione.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

${\vec {v_{p}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

Moto elicoidale

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità ${\vec {\Omega }}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza ${\vec {a}}$ , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con ${\vec {v_{p}}}$ e ${\vec {v_{0}}}$ le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento ${\boldsymbol {\xi }}$, ${\boldsymbol {\eta }},$, ${\boldsymbol {\zeta }}$, e se ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

${\vec {OP}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}$

Per cui la velocità di P, $v_{p}$, è uguale a ${d \over dt}{\vec {O_{1}P}}$, mentre quelli di =, $v_{0}$, è data da ${d \over dt}{\vec {O_{1}O}}$. Posto ciò abbiamo che:

${d \over dt}{\vec {OP}}={d \over dt}{\vec {O_{1}P}}-{d \over dt}{\vec {O_{1}O}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{0}}}$

Il vettore ${d \over dt}{\vec {i}}$ potrà essere epresso in generale come:

${d \over dt}{\vec {i}}=a{d \over dt}{\vec {i}}+b{d \over dt}{\vec {j}}+c{d \over dt}{\vec {k}}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+{\dot {z}}{\vec {k}}+x{d \over dt}{\vec {i}}+y{d \over dt}{\vec {j}}+z{d \over dt}{\vec {k}}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che ${\dot {x}}={\dot {y}}={\dot {z}}=0$. La (8) si riduce allora:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+x{d \over dt}{\vec {i}}+y{d \over dt}{\vec {j}}+z{d \over dt}{\vec {k}}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\left\{{\begin{matrix}{d \over dt}{\vec {i}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {i}}\\{d \over dt}{\vec {j}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {j}}\\{d \over dt}{\vec {k}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {k}}\end{matrix}}\right.$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
${\vec {i}}\wedge {\vec {i}}={\vec {j}}\wedge {\vec {j}}={\vec {k}}\wedge {\vec {k}}=0$	${\vec {i}}\times {\vec {i}}={\vec {j}}\times {\vec {j}}={\vec {k}}\times {\vec {k}}=1$
${\vec {i}}\wedge {\vec {j}}=-{\vec {j}}\wedge {\vec {i}}={\vec {k}}$	${\vec {i}}\times {\vec {j}}=0$
${\vec {j}}\wedge {\vec {k}}=-{\vec {k}}\wedge {\vec {j}}={\vec {i}}$	${\vec {j}}\times {\vec {k}}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

${d \over dt}({\vec {i}}\times {\vec {i}})={\vec {i}}\times {d{\vec {i}} \over dt}+{d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}}=2({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}})=0$

${d \over dt}({\vec {i}}\times {\vec {j}})={d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}}+{\vec {i}}\times {d{\vec {j}} \over dt}=0$

${d \over dt}({\vec {j}}\times {\vec {k}})={d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}}+{\vec {j}}\times {d{\vec {k}} \over dt}=0$

cioè

${d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}}=0$
${d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}}=-{\vec {i}}\times {d{\vec {j}} \over dt}$
${d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}}=-{\vec {j}}\times {d{\vec {k}} \over dt}$

Il vettore ${d{\vec {i}} \over dt}$ potrà essere espresso in generale come:

${d{\vec {i}} \over dt}=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ otteniamo:

${d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}}=a{\vec {i}}\times {\vec {i}}+b{\vec {j}}\times {\vec {i}}+c{\vec {k}}\times {\vec {i}}=a=0$

${d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}}=a{\vec {i}}\times {\vec {j}}+b{\vec {j}}\times {\vec {j}}+c{\vec {k}}\times {\vec {j}}=b$

${d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {k}}=a{\vec {i}}\times {\vec {k}}+b{\vec {j}}\times {\vec {k}}+c{\vec {k}}\times {\vec {k}}=c$

Si ottiene

${d{\vec {i}} \over dt}=({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}})\cdot {\vec {j}}+({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {k}})\cdot {\vec {k}}$

$=({d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}})\cdot {\vec {i}}\wedge {\vec {i}}+({d{\vec {k}} \over dt}\times {\vec {i}})\cdot {\vec {j}}\wedge {\vec {i}}+({d{\vec {i}} \over dt}\times {j})\cdot {\vec {k}}\wedge {i}$.

E se definiamo:

${\vec {\Omega }}=({d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}})\cdot {\vec {i}}+({d{\vec {k}} \over dt}\times {\vec {i}})\cdot {\vec {j}}+({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}})\cdot {\vec {k}}$

otteniamo le (10):

${d{\vec {i}} \over dt}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {i}}$ ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

${\vec {V_{p}}}={\vec {V_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed ${\vec {\Omega }}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

${d \over dt}{\vec {V_{p}}}={d \over dt}{\vec {V_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {d \over dt}{\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

Cioè:

${\vec {a_{p}}}={\vec {a_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

In quanto per le (13) si ha:

${d \over dt}{\vec {(OP)}}={\vec {V_{p}}}-{\vec {V_{0}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

${\vec {\Omega }}\wedge {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}=({\vec {\Omega }}\times {\vec {(OP)}})\cdot {\vec {\Omega }}-({\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }})\cdot {\vec {(OP)}}$

Le espressioni cartesiane delle componenti di ${\vec {a_{p}}}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

${\ddot {x}}={\dot {u_{0}}}+(px+qy+rz)\cdot {p}-(p^{2}+q^{2}+r^{2})\cdot x+({\dot {q}}z-{\dot {z}}y)$

${\ddot {y}}={\dot {v_{0}}}+(px+qy+rz)\cdot {q}-(p^{2}+q^{2}+r^{2})\cdot {y}+({\dot {z}}x-{\dot {p}}z)$

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x_{m}$ $y_{m}$ $z_{m}$ sono date proiettando la formula fondamentale:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}\wedge ({\vec {OP)}}$

Cinematica del punto nel moto relativo

Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

$x=x(t)$

$y=y(t)$

$z=z(t)$

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1-Parametri del moto della terna mobile.

2-Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assoluta

O,x,y,z è il sistema di assi mobili ed il suo moto è individuato dalle componenti della velocità di traslazione $u_{o}$, $v_{o}$, $w_{o}$ del punto O rispetto agli assi stessi, e dal vettore rotazione ${\bar {\mathbf {\Omega } }}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti rispetto agli assi mobili p, q, r.

Se $O_{f}$ è l'origine degli assi fissi avremo:

${\bar {\mathbf {O_{f}P} }}={\bar {\mathbf {O_{f}O} }}+{\bar {\mathbf {OP} }}$

La velocità assoluta è data da: