Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali

lezione
Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

In molti casi pratici interessa conoscere alcune caratteristiche sintetiche, dette momenti, di una variabile casuale. Queste caratteristiche possono essere calcolate dalla funzione di densità di probabilità.

Valor medio delle variabili casualiModifica


Definizione: Valor medio
Sia   una variabile casuale con  . Si definisce il valor medio (o valore atteso) di   la quantità
 

Nel caso di variabili casuali discrete, invece, è definito come

 

visto che si ha

 



Esempio: Funzione indicatrice
Sia lo spazio di probabilità  , con   e   la funzione indicatrice. Si ha
 
Quindi, il valor medio della funzione indicatrice è la probabilità di successo.


Si noti che il valor medio della funzione può non essere un risultato possibile per l'esperimento.


Esempio: Variabile casuale di Bernoulli
Si ha
 

da cui

 



Esempio: Variabile casuale di Poisson
Si ha
 

da cui si ha

 

Siccome vale la proprietà

 

allora si ottiene

 



Esempio: Variabile casuale uniforme
Si ha
 

Allora, il valore atteso sarà

 



Esercizio per casa: La variabile casuale gaussiana
Trovare il valor medio   di una variabile casuale gaussiana,
 



Teorema: Teorema fondamentale del valore atteso
Data la variabile casuale   n-dimensionale con funzione di densità di probabilità   e la trasformazione
  (una funzione di Borel)

si ha che, per la variabile casuale

 

vale

 


Nel caso particolare in cui   e con una variabile casuale discreta, si ha

 

da cui

 

ha

 

da cui si ottiene

 


Proprietà: Proprietà di linearità
Una variabile casuale n-dimensionale può essere vista come combinazione lineare di   variabili casuali monodimensionali pesate
 

Questo porta alla proprietà

 

se poi si impone  , allora si ha che   e vale

 

da cui

 


Varianza delle variabili casualiModifica


Definizione: Varianza di una variabile casuale
Data una variabile casuale   con una funzione di densità di probabilità  , si dice varianza la grandezza
 

con

 

La varianza si può definire anche come

 

Se la variabile casuale è discreta anziché continua, allora si ha

 
con  



Esempio: Variabile casuale binomiale
Si hanno   prove ripetute indipendenti di una variabile casuale binomiale, con  ,   e con
  •  
  •  

Si definisce lo spazio prodotto

 
 
 

Se   rappresenta il numero di successi su   prove, si ha

 

da cui

 


Si ha:

 


Esempio: Variabile casuale di Bernoulli
Si ha
 

da cui

  •  
  •  

di conseguenza

 



Esempio: Variabile casuale uniforme
Sia  . Allora:
  •  
  •  

da cui si ottiene

 



Esempio: Variabile casuale gaussiana
Si ha una variabile casuale con distribuzione
 

Allora, vale

 

Si impone   e si ha

 

Siccome vale

 

allora, con

  •  
  •  
  •  

si ha

 


Momenti delle variabili casualiModifica


Definizione: Momenti di una variabile casuale
Sia   una variabile casuale con funzione di densità di probabilità  . Si dice momento di ordine   della variabile casuale   la quantità
 



Definizione: Momento centrale di una variabile casuale
Data una variabile casuale   con funzione di densitù di probabilità  , si dice momento centrale di ordine   di   la quantità
 


ProprietàModifica

Il valore atteso di una funzione di due variabili casuali   e  , con

  • densità di probabilità  
  •   (funzione di Borel)

è dato da

 

Inoltre, se vale

 

allora

 
Somma di variabili casualiModifica

Siano   e   due variabili casuali. Allora il valore atteso è

 

mentre la varianza è

 

nel caso di indipendenza, si ha

 
Prodotto di variabili casualiModifica

Siano   e   due variabili casuali. Allora il valore atteso del loro prodotto è

 

Se poi   e   sono indipendenti, allora si ha

 

La varianza, invece, è

 

Ancora una volta, nel caso di indipendenza, si ha

 

Variabili casuali incorrelateModifica


Definizione: Variabili casuali incorrelate
Due variabili casuali   e   con densità di probabilità   si dicono incorrelate se
 


Si ha

 

Si ricordano le definizioni:

  • incorrelazione  
  • indipendenza  


Esempio:
Siano   e   due variabili casuali con
 

Allora, si ha

 
 

Allo stesso modo, si ha

 

Si ha

 
 
da cui si deduce che le due variabili casuali sono incorrelate. Non si può dire, però che vi sia indipendenza.


Se due variabili casuali sono congiuntamente gaussiane e sono incorrelate, allora sono anche indipendenti; vale il viceversa.


Definizione: Variabili casuali ortogonali
Due variabili casuali   e   con funzione di denstità di probabilità congiunta   si dicono ortogonali se
 
e si indicano con  .


Si ha:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


Definizione: Covarianza di variabili casuali
Siano   e   due variabili casuali con funzione di densità di probabilità congiunta  . Si definisce la covarianza come
 

dove si ha

  •  
  •  

Una definizione alternativa è

 


Si ha che due variabili casuali   e   sono incorrelate quando  .


Definizione: Coefficiente di correlazione
Date   e   due variabili casuali con funzione di densità di probabilità congiunta  , si dice coefficiente di correlazione di   e   la grandezza
 



Esempio:
Sia   una variabile casuale con funzione di densità di probabilità   e sia
 

Mostrare che   se   e   se  .


Soluzione:
Il coefficiente di correlazione è una misura della forza della relazione lineare che intercorre tra   e  . Si ha
  •  
  •  

Si ha

 

dove

 

da cui

 

Si ha

 

da cui si può calcolare il coefficiente di correlazione