Caratteristiche principali delle cellule di ritardo a k costante

Computazioni ed esempi

In questa lezione prenderemo in esame le caratteristiche delle cellule di ritardo a K costante e mostreremo alcuni esempi relativi al calcolo di:

Sfasamento del segnale in funzione della frequenza di lavoro

Variazione del ritardo in funzione della frequenza di lavoro

Attenuazione in funzione della frequenza di lavoro

Caratteristiche di sfasamento

Le cellule a k costante presentano caratteristiche di sfasamento particolari che è utile conoscere per poter utilizzare al meglio questi circuiti.

La cellula esercitando un ritardo $(r)$ sul segnale unifrequenziale applicato ne provoca un conseguente sfasamento secondo la curva universale, valida per qualsiasi tipo di cellula di ritardo a k costante, riportata in figura 1 ( la funzione matematica ed il programma di calcolo, se necessari, sono riportati in appendice all'indirizzo: [[1]]) .

figura 1

La curva mostra come lo sfasamento della cellula sia proporzionale alla frequenza del segnale soltanto per il primo intervallo del rapporto $F/Fc$ compreso tra $0\ e\ 0.1$ ; per rapporti $F/Fc$ superiori a $0.1$ lo sfasamento cresce con andamento non più lineare.

Per renderci conto di come si comporta lo sfasamento di una cellula a k costante in funzione della frequenza prendiamo in esame i dati calcolati per una cellula a K costante nella prima lezione di questa materia:

$F=9500\ Hz$

$Fc=16901\ Hz$

$(r)=20\ \mu s$

calcoliamo il rapporto $F/Fc=9500\ Hz/16901\ Hz=0.56$

e verifichiamo nella curva quale sfasamento compete a questo rapporto:

risulta $\varphi \approx 68$°

Se ripetiamo l’indagine per una frequenza più elevata, ad esempio $15000\ Hz,$ abbiamo:

$F/Fc=15000\ Hz/16901\ Hz=0.88$

a quale corrisponde uno sfasamento di $\varphi \approx 128$°

Se avessimo ignorato la curva avremmo potuto calcolare lo sfasamento alla frequenza $F=9500\ Hz$ con la formula:

$\varphi =(r)\cdot F\cdot 360=20\ \mu s\cdot 9500\ Hz\cdot 360=68.4$°

ottenendo lo stesso risultato che abbiamo ricavato impiegando il diagramma di figura 1.

Se però ripetiamo il calcolo per la frequenza di $15000\ Hz$ otteniamo:

$\varphi =20\ \mu s\cdot 1500Hz\cdot 360=108$°

commettendo un errore molto grande rispetto allo sfasamento reale, $\varphi =128$°, ricavato dalla curva.

Caratteristiche di ritardo

Una cellula di ritardo ideale dovrebbe avere il ritardo $(r)$ indipendente dalla frequenza applicata.

Le cellule a k costante, purtroppo, presentano caratteristiche di ritardo dipendenti dalla frequenza in transito; caratteristiche che, pertanto, devono essere conosciute per consentire il corretto dimensionamento delle cellule nelle diverse applicazioni tecniche.

Le caratteristiche menzionate sono subordinate al valore della frequenza critica $Fc$ della quale abbiamo già accennato a proposito delle variabili di calcolo.

Ad ogni coppia di valori $L\ e\ C,$ che identificano una cellula di ritardo, corrisponde una particolare frequenza $Fc:$ tanto è più alto il valore di $Fc,$ rispetto alla frequenza $F$ applicata alla cellula, tanto minore è la variazione del ritardo $(r)$ in dipendenza di $F;$ viceversa, tanto è più basso il valore di $Fc$ rispetto alla frequenza in transito, tanto è maggiore la variazione anomala del ritardo $(r)$.

Per poter mostrare l’andamento di questa caratteristica è utile sviluppare un esercizio:

• Sia da progettare una cellula di ritardo a k costante in grado di ritardare di $15.97\ \mu s$ di un segnale alla frequenza alla $3000\ Hz$.

• Si voglia una resistenza di terminazione di $1000\ \Omega .$

• Si esamini il ritardo della cellula in funzione della frequenza applicata.

Computazione delle variabili di calcolo

La computazione delle variabili di calcolo deve iniziare dalla sottovariabile $Fc:$

$Fc=F/\sin(\ \pi \cdot r\cdot F)=3000\ Hz/\sin(\ 3.1416\cdot 15.97\cdot 10^{-6}s\cdot 3000\ Hz)=20000\ Hz$

Si procede ora alla computazione delle variabili di calcolo $ro\ e\ Zo$ secondo le formule:

$ro=1/(\pi \cdot Fc)=1/(3.1416\cdot 20000\ Hz)=15.91\ \mu s$

$Zo=R\cdot {\sqrt {[1-(F/Fc)^{2}]}}=1000\ \Omega \cdot {\sqrt {[1-(3000\ Hz/20000)^{2}]}}=988.68\ \Omega$

Calcolo dei componenti la cellula

Si esegue ora il calcolo dei componenti fisici che consentono la costruzione della cellula:

$L=ro\cdot Zo=15.91\cdot 10^{-6}s\cdot 988.68\ \Omega =15.72\ mH$

$C=ro/(2\cdot Zo)=15.91\cdot 10^{-6}s/(2\cdot 988.68\ \Omega )=8046\ pF$

Esame del ritardo della cellula

Così come richiesto dai dati di base, si deve procedere all'esame della cellula in funzione della frequenza applicata; questo tipo d’indagine non può essere condotto su di una curva universale come quella relativa alla variazione di fase della cellula, riportata in figura 1, ma su di una curva particolare, creata appositamente per la cellula ora progettata, impostata sul valore della frequenza critica, $Fc=20000\ Hz,$ calcolata nel passo precedente.

La curva in oggetto, mostrata in figura 2, viene di seguito commentata.

figura 2

Nel diagramma di figura 2 si vede che all'ascissa $F=3000\ Hz$ il ritardo della cellula è di circa $16\ \mu s$ contro i $15.97$ calcolati nel progetto con un errore riscontrato praticamente nullo.

Dalla curva si osserva che il ritardo resta praticamente costante fino alla frequenza $F=5000\ Hz,$ oltre tale frequenza il ritardo cresce e raggiunge i $17\ \mu s\ a\ 12000\ Hz$ con un errore percentuale, rispetto al ritardo voluto, pari al $6.4\%.$

L’errore raggiunge poi il $31.4\%$ per $F=19000\ Hz.$

I dati ricavati dalla curva mostrano come il ritardo $(r)$ della cellula vari con la frequenza applicata entro valori che non sempre possono essere accettati; si tratta pertanto di valutarne l’entità in dipendenza delle necessità d’impiego della cellula nell'ambito del progetto generale del sistema entro il quale il nuovo circuito deve essere utilizzato.

L’operazione di controllo della variazione di $(r)$, con il variare della frequenza, richiede, per ciascun progetto di cellula, un diagramma appositamente tracciato; questa operazione presenta qualche difficoltà di carattere matematico e pertanto non può essere riportata in questa sede; per chi ha necessità di questi sviluppi si rimanda all’appendice xxxx nella quale sono riportate, sia le formule di calcolo per il tracciamento della curva per punti, sia le stesse in versione da implementare direttamente in Excel per il calcolo ed il tracciamento automatico della curva.

Caratteristiche di attenuazione

Il segnale applicato ad una cellula a k costante, mediante un generatore di corrente, percorre la cellula è si trova alla sua uscita, ritardato di un tempo (r), con un’ampiezza un poco inferiore a quella che aveva all'ingresso, a causa dell’attenuazione che le perdite sull'induttanza provocano sul segnale.

Le perdite su di una singola cellula sono generalmente di modesta entità, ma si fanno sensibili su di una catena di ritardo composta da molte cellule; in questo caso le perdite si mostrano in modo progressivo, aumentano cioè mano a mano che dall'ingresso della catena si preleva il segnale verso la fine della stessa.

Queste perdite sono quantizzabili mediante una semplice formula che le esprime in dipendenza del coefficiente di merito complessivo $Q$, dei componenti reattivi che formano la cellula:

$Atsc.=2.88/Q$,

dove il valore dell’attenuazione $Atsc.$, ( attenuazione singola cellula) è espresso in deciBel.

Con i componenti oggi in commercio le perdite sui condensatori, in particolare sui condensatori di precisione, sono irrilevanti rispetto alle perdite che si possono riscontrare sulle induttanze, a causa, sia della resistenza ohmmica dell’avvolgimento, sia del nucleo in ferrite; ne segue che il valore del $Q$ indicato nella formula deve essere considerato soltanto per l’induttanza che è utilizzata nella cellula.

Un'idea sul valore dell’attenuazione che si verifica su di una cellula si può avere ipotizzando per l’induttanza un $Q=100$ , cosa più che ragionevole per induttanze che lavorano a frequenze non molto elevate; in tal caso si ha:

$Atsc.=2.88/100=0.0288\ dB$

valore d’attenuazione di per sé irrilevante.

Se però si pensa ad una catena di ritardo composta ad esempio da $50$ cellule, cosa normale in molte applicazioni, si trova un'attenuazione, $Atc,$ massima, in fondo alla catena di:

$Atc,=50\cdot Atsc=50\cdot 0.0288\ dB=1.44\ dB$

attenuazione che non è molto elevata ma della quale, in base al tipo d’applicazione, si deve tenere conto.