Calcolo mentale e proprietà delle operazioni (scuola media)

Il calcolo mentale è indispensabile per procedere anche nel calcolo scritto, ovviamente può essere sostituito dal calcolo con la calcolatrice, che deve essere usata bene però.

Il calcolo mentale segue regole che non sono così meccaniche e ripetitive come quelle del calcolo scritto e richiede come prerequisito quello di conoscere bene la rappresentazione decimale dei numeri, le quattro le operazioni e di saper applicare in modo intelligente le proprietà delle stesse operazioni.

Proprietà delle operazioni nei numeri naturali

Addizione e moltiplicazioni sono commutative e associative

Le operazioni più ricche di proprietà sono l'addizione e la moltiplicazione entrambre godono della proprietà commutativa

$a+b=b+a\ e\ a\cdot b=b\cdot a$

e associativa

$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)\ e\ \left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)$

la prima proprietà è evidente e non servono esempi numerici, per la proprietà associativa possiamo mostrare come

$\left(3+6\right)+4=3+\left(6+4\right)=3+10=13\ e\ \left(3\cdot 2\right)\cdot 5=3\cdot \left(2\cdot 5\right)=3\cdot 10=30$

dove associando diversamente gli addendi o i fattori si ritrova il 10 da sommare o da moltiplicare, cosa che rende piuttosto semplici le operazioni.

Sommare 10 o più decine

Infatti sommare 10 ad un numero minore di 10 da come risultato il numero che è semplicemente la giustapposizione di 1 davanti al secondo addendo

$10+3=13$ si ottiene scrivendo 1, che rappresenta una decina, davanti al 3 $\left(10+3\right)\rightarrow \left(1\leftarrow 3\right)\rightarrow \left(13\right)$.

Moltiplicare per 10, 100, 1000

La moltiplicazione per 10 segue regole simili all'addizione che si poggiano sulla rappresentazione decimale.
La moltiplicazione oper 10 si ootiene aggiungendo uno 0 cosa che ha il significato di spostare le dcifre di un posto verso sinistra, cioè di far diventare la cifra delle unità cifra delle decine, quella delle decine divanta quella delle centinaia e così via.
Anche in questo caso l'operazione si svolge facilemente a mente.

$3\cdot 10=30$ infatti $\left(3\cdot 10\right)\rightarrow \left(3\leftarrow 0\right)\rightarrow \left(30\right)$

Operazioni che si possono fare a mente

Non tutte le operazioni si possono fare a mente, ma tenuto conto del fatto che è in uso un sistema di numerazione decimale posizionale è possibile stimare i risultati di qualsiasi operazione utilizzando numeri vicini a quelli usati nelle operazioni.
Per fare le operazioni a mente si devono sfruttare in modo creativo le proprietà delle operazioni, spesso in combinazione tra loro.

L'addizione a mente

L'addizione gode di due proprietà: associativa e commutativa, in genere per fare i calcoli a mente le due proprietà vengono usate insieme. Ad esempio nell'operazione

$3+5+7=$

la nostra mente procede molto velocemente commutando ed associando

$3+5+7=\left(3+7\right)+5=10+5=15$

grazie agli esercizi che le nostre maestre ci hanno fatto fare con gli amici del 10.

Esercizi per imparare l'addizione a mente

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.

La sottrazione a mente

Esercizi per imparare l'addizione a mente

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.

La moltiplicazione a mente

Esercizi per imparare La moltiplicazione a mente

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.

La divisione a mente

Esercizi per imparare La divisione a mente

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.