Calcolo delle probabilità (scuola media)

La probabilità permette di calcolare la possibilità che si verifichi un evento. La probabilità si può esprimere sotto forma di frazione, percentuale o numero decimale.

lezione Calcolo delle probabilità (scuola media)
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica per la scuola media 3
	Avanzamento: lezione completa al 100%

Probabilità di un evento casuale

Un evento si dice probabile se può verificarsi. Un evento si dice certo se la probabilità che avvenga è 100%. Un evento si dice impossibile se la probabilità che avvenga è 0% Un evento che dipende dal caso si dice casuale o aleatorio.

Valori della probabilità

La probabilità che avvenga un evento certo è 1 ( 100% - 1/1). La probabilità che avvenga un evento impossibile è 0 (0%) La probabilità che avvenga un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1.

Come si calcola la probabilità?

La probabilità di un evento casuale è un rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili. Prendiamo come esempio un sacchetto che contiene i numeri compresi tra uno e dieci. La probabilità che esca il numero 5 è il rapporto tra i casi favorevoli, cioè uno perché c’è solo un numero 5, e i casi possibili, cioè 10 perché i numeri contenuti nel sacchetto sono 10. La probabilità è quindi 10%, 1/10 o 0,10

Probabilità di eventi incompatibili

Due eventi E1 ed E2 sono incompatibili se uno di questi eventi esclude il verificarsi dell’altro. Due eventi incompatibili non possono verificarsi contemporaneamente. La probabilità totale di un evento casuale si ottiene sommando le probabilità dei singoli eventi parziali.

Esempio: qual è la probabilità che lanciando un dado ottengo 2 o un suo multiplo (E1) o un numero multiplo di 5 (E2). La probabilità che si verifichi l’ E1 è 3/6 e la probabilità che si verifichi l’E2 è 1/6: la probabilità totale si ottiene dalla somma della probabilità di E1 ed E2, cioè 3/6 + 1/6 che è uguale a 4/6, semplificando 2/3.

Probabilità totale di eventi compatibili

Due eventi sono compatibili quando possono verificarsi contemporaneamente, cioè se uno non esclude l’altro.

Per esempio: se lancio un dado qual è la probabilità che esca un numero pari (E1) o un numero maggiore di 3 (E2)? Per trovare la soluzione devo sommare i casi favorevoli all’evento E1 (3/6) a quelli dell’evento E2 (3/6) e sottrarre i casi favorevoli che E1 ed E2 avvengano contemporaneamente (2/6). Il risultato è quindi 6/6 - 2/6 = 4/6 .

Probabilità composta di eventi indipendenti

I due eventi semplici sono tra loro indipendenti perché il verificarsi dell’uno non influenza in alcun modo il verificarsi dell’altro .Si chiama probabilità composta la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi parziali. La probabilità di un evento composto da due eventi semplici indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di due eventi.

Probabilità composta di eventi dipendenti

Due eventi semplici sono tra loro dipendenti se il verificarsi di uno condiziona il verificarsi dell’altro.

Per esempio: in un sacchetto ci sono 10 biglie, 5 blu, 3 gialle e 2 rosse. Se io estraggo prima una biglia blu, senza rimetterla nel sacchetto, qual è la probabilità che alla seconda estrazione io peschi una biglia gialla? La probabilità che io peschi una biglia blu è 5/10, quindi 1/2, ma la probabilità di estrarre dopo una biglia gialla è 3/9, quindi 1/3. Per trovare la probabilità totale devo moltiplicare 1/3 per 1/2, cioè 1/6.

Probabilità sperimentale

Supponiamo di effettuare 40 lanci di una moneta, tutti nelle medesime condizioni e di registrare in una tabella il numero delle volte in cui si presenta il seguente evento:

numero di lanci: 40
numero di volte in cui esce testa: 28.

Sulla base dei risultati calcoliamo il rapporto tra il numero delle volta in cui si è verificato l’evento considerato il numero totale di prove effettuate: 28\40 = 7\10 = 0,7 = 70%. Il rapporto scritto sopra rappresenta la ffrequenza relativa dell’evento E viene anche detto probabilità sperimentale. Indicando con F la frequenza assoluta e con N il numero delle prove eseguite possiamo scrivere che: F = frequenza assoluta\ numero prove eseguite= F\N. Se confrontiamo il valore della frequenza relativa dell’evento E “esce testa” che abbiamo trovato prima con 40 lanci, che è 70%, con la probabilità dell'evento che "esca testa" lanciando una moneta, osserviamo che i due valori sono simili, ma non uguali. Più il numero delle prove effettuate aumenta, più la frequenza relativa di un evento assume valori che si avvicinano sempre di più a quelli della probabilità matematica. Questa legge si chiama “ Legge empirica del caso” o “ legge dei grandi numeri.