Calcolatore delle funzioni di correlazione

Il pannello di controllo

Il CORRMATH è uno strumento software per il calcolo e la presentazione grafica delle funzioni di correlazione impiegate nell'elaborazione dei segnali sonar.

Lo strumento in oggetto è sviluppato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo:

wikicorrmath oppure corrmath ^[1]

Una volta lanciato l'eseguibile si ha la comparsa sullo schermo del P.C. del pannello di controllo mostrato in figura:

I diversi elementi del pannello sono:

1 Reticolo cartesiano per il tracciamento delle curve di correlazione con 20 divisioni in ascisse e $10$ divisioni in ordinate per il campo dei tracciati positivi ( da $C=0$ a $C=+1$ ) e $10$ divisioni per il campo dei tracciati negativi ( da $C=0$ a $C=-1$ )

2 Selettore di processo per le diverse tipologie delle funzioni di correlazione da scegliere tra 8 opzioni.

3 Spazio per ingresso dati che caratterizzano la funzione di correlaione da tracciare.

4 Pulsante per l'abilitazione al calcolo sulla base dei dati inseriti al punto precedente.

5 Pulsante d'avvio al calcolo e alla presentazione grafica.

6 Spunta per il controllo tra curve di correlazione tracciate con variabili diverse.

Selettori di processo

Gli otto selettori di processo sono nell'ordine:

Correlazione analogica C = f(t) normalizzata in banda 0-F

Vista 1^ selezione su pannello di controllo

Banda $0-F$ con $F$ in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ . tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$ .

Correlazione analogica C = f(t) normalizzata in banda F1-F2

Vista 2^ selezione su pannello di controllo

Banda $F1-F2$ in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ . tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$ .

.

Correlazione analogica C = f(b°) normalizzata in banda 0-F

Vista 3^ selezione su pannello di controllo

Con $F\ in\ Hz$ , tra due segnali che colpiscono una base con una inclinazione Brq (b°) in gradi, tracciata in un reticolo cartesiano con scala delle ascisse pari a Fondo scala (a°) in gradi; la lunghezza della Base d è espressa in metri $(m)$ .

Correlazione analogica C = f (b°) normalizzata in banda F1-F2

Vista 4^ selezione su pannello di controllo

Banda $F1-F2\ in\ Hz$ , tra due segnali che colpiscono una base con una inclinazione Brq (b°) in gradi, tracciata in un reticolo cartesiano con scala delle ascisse pari a "Fondo scala (a°) in gradi; la lunghezza della Base d è espressa in metri $(m)$ .

Correlazione digitale C = f(t) normalizzata in banda 0-F

Vista 5^ selezione su pannello di controllo

con $F$ in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ . tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$

Correlazione digitale C = f(t) normalizzata in banda F1-F2

Vista 6^ selezione pannello di controllo

Banda in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ . tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$ .

Correlazione digitale C = f(t) normalizzata in presenza dei due segnali e del rumore del mare in banda F1-F2

Vista 7^ selezione su pannello di controllo

Banda in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$ .

In questo tipo di computazione è necessario inserire variabili ausiliarie quali:

rapporto s/n ingresso (dB), al correlatore
costante di tempo del correlatore rc in secondi
fattore di scala asse ordinate per espandere il grafico se necessario fattore di scala y

Correlazione digitale normalizzata con trasformata di Hilbert HC = f(t) in banda F1-F2

Vista 8^ selezione pannello di controllo

Banda in $Hz$ , tra due segnali con ritardo $tc\ in\ \mu s$ . tracciata in un reticolo cartesiano con fondo scala delle ascisse pari a "F.scala" $\ in\ \mu s$ .

Esercizi grafico numerici

Nel pannello PROCESSI DI CORRELAZIONE apriamo la SELEZIONE PROCESSO che ci presenta una scelta di nove funzioni diverse.

Sviluppiamo quindi otto casi, l'uno dopo l'altro, come di seguito descritto:

Primo: Funzione di corr. analogica in banda 0-F

Selezioniamo : ANAL. C = f(F,tc): Funzione di corr. analogica in banda 0-F (in ascissa il tempo t) con il max atteso per il tempo tc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio :
F = 13500 Hz 
tc = 600  $\mu s$ 
Fondo scala Fs = 1000  $\mu s$ . (50   $\mu s$ / div)

Otteniamo il grafico (asse x = tempo) della funzione di correlazione come riportato in figura.

La curva mostra il massimo di correlazione alla 12^ divisione delle ascisse corrispondente a 600  $\mu s$ . con C = +1 e profilo tondeggiante secondo Sen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 31.8  $\mu s$ .
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.1

Secondo: Funzione di corr. analogica in banda F1-F2

Selezioniamo: ANAL. C = f(F1,F2,tc); funzione di corr. analogica in banda F1-F2 (in ascissa il tempo t) con il max atteso per il tempo tc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio : 
F1 = 500 Hz  
F2= 4000 Hz  
tc = 200   $\mu s$ 
Fondo scala Fs =1000  $\mu s$  (50  $\mu s$ /div)

Otteniamo il grafico della funzione di correlazione come in figua.

La curva mostra il massimo di correlazione alla 4^ divisione delle ascisse corrispondente a 200  $\mu s$ . con C = +1 e profilo tondeggiante secondo Sen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 100  $\mu s$ 
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.01

Terzo: Funzione di corr. analogica funzione della direzione del bersaglio (banda 0-F)

Selezioniamo: ANAL. C = f(F,b°,d); funzione di corr. analogica in banda 0-F (in ascissa l'angolo) con il max atteso per l'angolo b°; in questo esercizio le ascisse non sono dimensionate in tempo ma in gradi sessagesimali corrispondenti alla direzione di un bersaglio.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio: 
F = 1000 Hz
Fondo scala = 40° (2°/div)
Brq = 6°  
Lunghezza base = 10 m

Otteniamo il grafico della funzione di correlazione come in figura.

La curva mostra il massimo di correlazione alla 3^ divisione delle ascisse
corrispondente a 6°. con C = +1 e profilo tondegginte secondo Sen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 4°
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.13

Quarto: Funzione di corr. analogica funzione della direzione del bersaglio (banda F1-F2)

Selezioniamo: ANAL. C = f(F1,F2,b°,d); funzione di corr. analogica in banda F1-F2 (in ascissa l'angolo) con il max atteso per l'angolo b°, anche in questo esercizio le ascisse non sono dimensionate in tempo ma in gradi sessagesimali corrispondenti alla direzione di un bersaglio.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio : 
F1 = 5000 Hz
F2 = 12000 Hz
Fondo scala = 20° (1° /  div.)
b= 7°
Lunghezza base = 8 m

Otteniamo il grafico della funzione di correlazione come sopra riportato:

La curva mostra il massimo di correlazione alla 7^ divisione delle ascisse
corrispondente a 7° con C = +1 e profilo tondeggiante secondo Sen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 0.8°
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.25

Quinto: Funzione di corr. digitale in banda 0-F

Selezioniamo DIG. C = f(F1,tc); funzione di corr. digitale in banda 0-F (in ascissa il tempo ) con il max atteso per il tempo tc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio :
F1 = 29000 Hz  
tc = 200 micro sec.
Fondo scala Fs = 500  $\mu s$  (25   $\mu s$ / div.)

Otteniamo il grafico della funzione di correlazione indicato in figura.

La curva mostra il massimo di correlazione alla 8^ divisione delle ascisse
corrispondente a 200  $\mu s$ . con C = +1 e profilo a cuspide secondo ArcSen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di circa 5  $\mu s$ .
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.09

Sesto: Funzione di corr. digitale in banda F1-F2

Selezioniamo: ANAL. C = f(F1,F2,tc); funzione di corr. digitale in banda F1-F2 (in ascisse il tempo ) con il max atteso per il tempo tc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio 
F1 = 500 Hz  
F2 = 2000 Hz
Fondo scala Fs = 2000  $\mu s$  . (100  $\mu s$ . / div.)
tc = 1500  $\mu s$

. Otteniamo il grafico della funzione di correlazione di figura.

La curva mostra il massimo di correlazione alla 15^ divisione delle ascisse
corrispondente a 1500  $\mu s$ . con C = +1 e profilo a cuspide secondo ArcSen x / x.
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 120  $\mu s$ .
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.09

Settimo:Funzione di corr. digitale in banda F1-F2 dipendente da s/n

Selezioniamo: DIG. C = f(F1,F2,tc,s/n,rc); funzione di corr. digitale in banda F1-F2 (in ascissa il tempo )

In questo esercizio la funzione dipende,oltre che dal tempo, anche dal rapporto s/n (rapporto tra segnale e disturbo espresso in deciBel) e dalla costante di tempo rc dell'integratore.

Il max è atteso al tempo tc, l'ampiezza di questo dipende da s/n , la varianza da rc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio :
F1 = 300 Hz 
F2 = 12400
Fondo scala = 800  $\mu s$  ( 40  $\mu s$ ./div)
tc = 400  $\mu s$ .
s/n= + 4 dB 
rc = 0.1 s
fattore di scala y = 1

Otteniamo il grafico della funzione di correlazione nel tracciato cartesiano della figura.

Si osservi che l'ampiezza della funzione C, a seguito del rapporto s/n = + 4 dB  inserito a calcolo, si è ridotta da 1 a circa 0.5 e il suo profilo si è modificato da una cuspide ad un andamento tondeggiante, lo spessore della traccia è indicativo della varianza d'uscita dal correlatore.
La curva mostra il massimo di correlazione alla 10^ divisione delle ascisse corrispondente a 400  $\mu s$ . con C = +0.5 e profilo  secondo Sen x / x ^[2].
La larghezza del lobo a - 3 dB è di 40  $\mu s$ .
L'ampiezza massima dei lobi secondari è di 0.06

Ottavo: Funzione di corr. digitale secondo Hilbert in banda F1-F2

Selezioniamo: DIG.HC = f(F1,F2,tc); funzione di anticorrelazione digitale in banda F1-F2(in ascissa il tempo)

Questa funzione dipende dal tempo e presenta uno zero dove le altre funzioni presentano il max ( trasf. di Hilbert ). Lo zero è atteso al tempo tc.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo ad esempio :
F1 = 5000 Hz 
F2 = 14000 Hz
Fondo scala = 400  $\mu s$ .(20  $\mu s$ /div.)
tc = 200  $\mu s$ .

Otteniamo il grafico della funzione di anticorrelazione di figura.

La curva mostra il passaggio per lo zero  alla 10^ divisione delle ascisse corrispondente a 200  $\mu s$  con C = 0.
La pendenza attorno all'ascissa x = 200  $\mu s$ . è di  0.035 / 1  $\mu s$ .

Nono: Ripetizione del quarto esercizio per la misura della risoluzione angolare

Con il calcolatore, tramite l'impiego della casella di spunta 6 (Compara grafici), si possono confrontare i grafici di due funzioni di correlazione, ad esempio, per un successivo esame della risoluzione angolare.

Questo problema si pone quando si voglia discriminare la posizione angolare di due bersagli angolarmente vicini tra loro.

Allo scopo prendiamo in considerazione l'applicazione del quarto esercizio ripetuta due volte per due valori angolari diversi:

due bersagli disposti rispettivamente per:  
b1 = 20° e b2 = 25° 
ferme restando le altre variabili di calcolo.

Selezioniamo: ANAL. C = f(F1,F2,b°,d); funzione di corr. analogica in banda F1-F2 (in ascissa l'angolo) con il max atteso per l'angolo b°, anche in questo esercizio le ascisse non sono dimensionate in tempo ma in gradi sessagesimali corrispondenti alla direzione di un bersaglio.

Nelle caselle ingresso dati digitiamo inizialmente:
F1 = 100 Hz
F2 = 1300 Hz
Fondo scala = 40° (2° /  div.)
b° = 20° 
Lunghezza base = 8 m

Successivamente, dopo la spunta di casella 6, si ripete il calcolo per b° = 25° ottenendo il grafico di figura:

Il grafico mostra l'intersezione delle due funzioni di correlazione ad un livello di poco inferiore a 0.7. Con questo dato possono essere sviluppati i calcoli di risoluzione angolare tra i due bersagli.
L'angolo leggibile nella casella inserzione dati è di 25° essendo questo il secondo valore inserito nella ripetizione del calcolo.

Note

↑ Se il vostro PC è dotato di antivirus non consentirà di scaricare il file dato che lo stesso non è noto. Per non perdere l'opportunità dell'impiego di Corrmath è consigliabile l'uso di un vecchio PC certamente disponibile tra le vostre cose.
↑ Si deve osservare che questo processo di correlazione è del tipo digitale e che l'andamento della cuspide ( arcsin x ) si trasfoma in sen x / x a causa della presenza del rumore.

Bibliografia

James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, The application of correlation techniques to acoustic receiving systems, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 28), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.