Calcolatore degli integrali ellittici

Il calcolo del valore numerico degli integrali ellittici non si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti di I° e II° ordine con estremo superiore d'integrazione fissato in $\varphi =\pi /2$

Il problema accennato è risolvibile tramite un particolare file.exe Calcolatore ELLIPITC oppure ellitp

che consente il calcolo del valore numerico dell'integrale ellittico di I° o II° ordine una volta fissato l'estremo superiore d'integrazione, diversamente dalle tabelle, in $\varphi \leq \geq$ $\pi /2$  ; e identico argomento $\alpha$.

Nelle tabelle citate i valori numerici sono definiti con 15 cifre; per evitare tempi di calcolo improponibili per i P.C. ordinari la routine di ELLIPTIC limita il calcolo a 5 decimali.

Gli integrali ellittici di I° ordine

Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:

$K({\frac {\varphi }{\alpha }})=\int _{0}^{\varphi }(1-sin^{2}\alpha \ sin^{2}\theta )^{\color {red}-{\frac {1}{2}}}d\theta$

Le variabili che governano l'integrale sono:

• Limite inferiore d'integrazione $li=0$

• Limite superiore d'integrazione $\varphi$ espresso in radianti

• Variabile d'integrazione $\theta$ ; espressa in radianti

• Argomento di calcolo $\alpha$ espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.$3.2$°

Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di I° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore $\varphi$ ; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento $\alpha$ compreso tra $0\ e\ 90$°.

Gli integrali ellittici di II° ordine

Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:

$K({\frac {\varphi }{\alpha }})=\int _{0}^{\varphi }(1-sin^{2}\alpha \ sin^{2}\theta )^{\color {red}{\frac {1}{2}}}d\theta$

Le variabili che governano l'integrale sono:

• Limite inferiore d'integrazione $li=0$
• Limite superiore d'integrazione $\varphi$; espresso in radianti
  
• Variabile d'integrazione $\theta$; espressa in radianti
• Argomento di calcolo $\alpha$ espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2° )
  
  

Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di II° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore φ sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento $\alpha$ compreso tra $0\ e\ 90$°.

Una tabella dei valori dell'integrale ellittico precompilata

Si mostra una tabella, del tipo già menzionato, con la quale svolgere esercizi di comparazione tra valori precalcolati e valori computati al momento con ELLIPITC secondo tre colonne:

• la prima con l'argomento $\alpha$ in un campo compreso tra $0\ e\ 45$° a passi di un grado
• la seconda con il valore dell'integrale ellittico di primo ordine $K(a)$ computato per $\varphi =\pi /2$.

• la terza con il valore dell'integrale ellittico di secondo ordine $E(a)$ computato per $\varphi =\pi /2$.

Come si vede la tabella è a 15 decimali ma parte da un limite d'integrazione superiore prefissato $\varphi =\pi /2$ e la variabilità dell'argomento $\alpha$ è di 1° sessagesimale per passo.

Questa tabella, che rappresenta uno sforzo notevole per chi si è cimentato nel calcolo con mezzi non paragonabili agli attuali, può risultare utile per il controllo dei calcoli eseguiti nell'ambito delle variabili della tabella stessa, dopo di che assunta dimestichezza col calcolatore computare variabili di necessità non compresi in essa.

Primo esempio d'impiego di ELLIPTIC

Una volta lanciato l'eseguibile si ha la presentazione della pagina di calcolo così come mostrato in figura 1.

figura 1

Nella pagina compaiono:

• il selettore dell'integrale da calcolare; I° ordine o II° ordine
• il textbox1 per l'inserimento dell'estremo superiore d'integrazione φ espresso in radianti.
• il textbox2 per l'inserimento del valore dell'argomento $\alpha$ espresso in gradi sessagesimali.
• il pulsante di calcolo
• il label, blu, per l'indicazione del valore dell'integrale calcolato

Supponiamo ora di dover calcolare, a titolo d'esercizio, un valore dell'integrale di I° ordine già esposto in tabella per $\alpha =5$° e $\varphi =\pi /2$.

• si seleziona l'ordine dell'integrale: I°
• si digita in textbox1 il valore di $\varphi =3.1415927/2$ = $1.5707963$ radianti
• si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: $\alpha =5$°
• si pigia il pulsante calcolo e si attende il risultato sul label blu.

Il valore dell'integrale così calcolato, visibile in figura 2 è:

figura 2

$I=1.57379$ contro il valore di tabella che, per lo stesso argomento, indica $I=1.573792130924768$

Come si vede i primi 5 decimali compmputati coincidono con i primi 5 precalcolati così come previsto.

Data la complessità di elaborazione il valore dell'integrale definito non compare immediatamente nel label celeste ma necessita di un certo tempo d'attesa.

Secondo esempio d'impiego di ELLIPTIC

Supponiamo di dover calcolare l'integrale ellittico di II° ordine per $\varphi =1.6$ radianti per un argomento $\alpha =6.34$°

• si seleziona l'ordine dell'integrale: II°
• si digita in textbox1 il valore di $\varphi =1.6$ radianti
• si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: $\alpha =6.34$°
• si pigia il pulsante calcolo e si attende il risultato sul label blu.

Il valore dell'integrale così calcolato è: $I=1.56781$ così come mostra la figura 3.

figura 3

Questo risultato, non disponibile in tabella, pur con le limitazioni di precisione nel calcolo rappresenta un notevole contributo nella valutazione degli integrali ellittici.

Bibliografia

Edit: Milton Abramowitz ..Handbook of mathematical functios, USA 1970

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.