Bastoncini di Nepero

I bastoncini di Nepero

John Napier (1550 – 1617) è stato un matematico, astronomo e fisico scozzese, celebre per l'introduzione del logaritmo naturale, dei bastoncini (o ossi) di Nepero e anche per aver sostenuto l'uso delle frazioni decimali e del punto come separatore decimale.

Non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero di nobile famiglia che riusciva a condurre i suoi poderi con efficace razionalità. Della sua vita non si hanno molte notizie e in particolare non è chiaro dove abbia potuto ricevere una buona educazione umanistica e matematica; si può solo congetturare che abbia frequentato una università europea, forse quella di Parigi.

Descrizione dello strumento

I bastoncini (virgulae) di Nepero (detti anche virgulae numeratrices) sono uno strumento di calcolo inventato nel 1617. Nella loro versione più semplice, i bastoncini erano asticelle, spesso costruite con avorio (da cui il loro nome più diffuso nei paesi di lingua anglosassone: ossi di Nepero), su ciascuna delle quali erano incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità divise da una barra obliqua. Accostando i bastoncini corrispondenti a diverse cifre fino a comporre un certo numero (per esempio accostando i bastoncini per il 2, il 4 e il 6 a comporre "246"), e sommando le cifre che risultavano adiacenti (non separate dalla barra) nelle diverse righe, si otteneva facilmente la tabellina dei multipli del numero in questione.

A tale strumento Nepero non dette molta importanza; si trattava infatti della rielaborazione di un antico sistema di calcolo detto Gelosia, sviluppato probabilmente in India e diffuso nel medioevo in Arabia, Persia, Cina: introdotto in Italia nel 1300, prese il nome dalle griglie delle finestre a cui graficamente assomigliava. Solo nel 1617, anno della sua morte, Nepero rese pubblico il suo strumento, con un volumetto intitolato Rabdologia; l'uso dei bastoncini, nel giro di pochi anni, spaziò dall'Europa alla Cina.

Nepero progettò numerose varianti di questo meccanismo, tra l'altro con regole per dividere ed estrarre radici quadre e cubiche. Questi strumenti furono descritti dallo stesso Nepero in Rhabdologiae seu Numerationis per virgulas libri duo (1617). Le applicazioni che egli aveva in mente erano legate alla costruzione delle tavole dei logaritmi e al calcolo astronomico.

Di seguito si cerca di spiegare in maniera semplice e con l'aiuto di alcuni esempi, il funzionamento dei bastoncini per le comuni operazioni di moltiplicazione e divisione.

Funzionamento: Moltiplicazione

Il prodotto è ottenuto sommando, secondo le oblique, le due file di cifre che si trovano in corrispondenza della cifra del moltiplicatore riportata sulla cornice. Nell'effettuare le somme 'oblique' è necessario tenere conto dei riporti.

Funzionamento: Divisione

Con i piccoli regoli si imposta il divisore. Si cerca fra le doppie linee orizzontali quella di cui la somma delle prime cifre di sinistra più si avvicina per difetto alle prime cifre del dividendo. Si trova quindi: 4025; la cifra 5 che gli corrisponde nella cornice è la prima del quoziente. Si ottiene nello stesso tempo il prodotto 4265 (5x853) che si trascrive sotto il dividendo. Si fa la differenza e si procede in maniera analoga per completare l'operazione.

Come si può notare le tecniche di moltiplicazione e divisione illustrate finora sono molto simili alle odierne tecniche insegnate alle scuole elementari. I bastoncini di Nepero forniscono più che altro un supporto alla memoria che aiuti a combinare correttamente le cifre, l'onere del calcolo ricade ancora del tutto sull'utilizzatore.

Modifiche dello strumento

Numerose varianti di questo strumento sono state introdotte negli anni al fine di aumentarne le possibilità, di seguito vediamo le principali.

Una delle evoluzioni più significative riguarda una variante che permette di estrarre le radici quadrate. Per effettuare questa operazione, per altro piuttosto complessa e macchinosa, abbiamo bisogno di un bastoncino leggermente differente dagli altri e non presente nella versione originale dello strumento.

Il bastoncino aggiuntivo ha 3 colonne, nella prima ci sono i primi 9 quadrati, nella seconda i primi 9 multipli di 2 e nell'ultima i numeri da 1 a 9.

Un'ulteriore modifica viene fatta nel XIX secolo per renderli più leggibili, i bastoncini venivano piegati di un angolo di 65°, in questo modo i triangoli che dovevano essere sommati vengono allineati in verticale

La macchina di Schott

Durante tutto il 1600 l'ordine dei Gesuiti inviava molti dei suoi rappresentanti più preparati in giro per il mondo, come missionari sia della fede cristiana sia delle meraviglie tecnologiche del continente europeo. Due di questi Gesuiti, i tedeschi Gaspard Schott (1608-1666) e Athanasius Kircher (1602-1680), contribuirono alla diffusione dello strumento inventato da Nepero in Cina; Schott comunque non gradiva molti aspetti del sistema, come la ricerca del bastoncino corretto, ma soprattutto l'allineamento perfetto che doveva essere realizzato.

Ecco il motivo che spinse il gesuita a inventare un nuovo strumento che, sul sistema di Nepero, ne risolvesse i problemi; sembrò riuscirci grazie ad una serie di cilindri, su ciascuno dei quali era incisa una serie completa di bastoncini di Nepero. I cilindri erano poi montati in una scatola così che potessero essere girati singolarmente, per poi leggere il risultato grazie a delle finestre poste sul coperchio.

Malgrado l'apprezzabile tentativo di Schott, il sistema si rivelò un fallimento, a causa dell'imprecisione dei materiali che, anziché semplificare il procedimento, ne aumentava la tendenza all'errore. Altri tentativi furono fatti (il più conosciuto è del matematico francese Pierre Petit), sempre per rendere più pratico il sistema dei bastoncini di Nepero; ma tutti fallirono, per le stesse cause che portarono all'abbandono del sistema di Schott.

L'ultimo capitolo riguardante i bastoncini di Nepero ebbe luogo in Francia più di due secoli dopo, nel 1891, quando l'ingegnere Henri Genaille ed il matematico Edouard Lucas dimostrarono il funzionamento del loro sistema di righelli basato sullo strumento di Nepero, finalmente funzionante e pratico, grazie ad un elegante sistema di calcolo automatico dei riporti. Purtroppo questo sistema non ebbe grossa eco, visto che nel frattempo altre invenzioni avevano aperto la strada al calcolo meccanico.