Analisi deterministica e filtraggio per i segnali impulsivi del sonar

La teoria relativa ai segnali elettrici ed alla loro analisi è molto complicata, il suo apprendimento richiede lo studio di numerosi testi specialistici.

In questa lezione ci limitiamo ad esporre, in modo strettamente tecnico, alcune funzioni che consentono l'esame del segnale d'eco, caratteristico del sonar attivo, senza entrare nelle dimostrazioni matematiche.

Definizioni della problematica in termini tecnici

L'analisi deterministica dei segnali elettrici è rivolta ai segnali definibili matematicamente mediante una o più variabili invarianti nel tempo.

La definizione di dette variabili può essere espressa, indifferentemente, sia in funzione del tempo, sia della frequenza; il passaggio tra le due rappresentazioni avviene attraverso alcune elaborazioni analitiche legate alla trsformata di Fourier; la diversa rappresentazione delle variabili dipende dalle necessità d'uso.

Un esempio semplice di segnale deterministico è relativo all'impulso d'eco riflesso da un bersaglio in assenza di riverberazione e di rumore.

Esame dell'impulso d'eco

Come accennato in precedenza un segnale deterministico è individuabile nell'impulso d'eco riflesso da un bersaglio a seguito dell'emissione del sonar.

L'analisi deterministica di questo tipo d'impulso è fondamentale per stabilire la larghezza di banda del ricevitore sonar delegato alla sua ricezione; procediamo all'esame:

sia dato l'impulso d'eco, di durata $T=t2-t1$, riportato in figura 1.

Questo segnale, funzione del tempo, è definibile matematicamente secondo l'espressione:

$Y=0\ per\ t1>t>t2$

$Y=A\cdot \cos(\omega o\ t)\ \ per\ \ t1\leq \ t\ \leq \ t2$

dove $\omega o=2\ \pi \ fo\ \ con\ \ fo$ = frequenza dell'onda dell'impulso.

Per stabilire la larghezza di banda del filtro che deve ricevere l'impulso si deve trasformare la funzione $Y=f(t)$ , definita nel dominio del tempo, nella funzione $G=f(\omega )$ -spettro dell'impulso- espressa nel dominio della frequenza, tramite un processo d'analisi deterministica individuabile nell'integrale di Fourier sotto riportato:

$G(w)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(t)e^{-j\ wt}\ dt$

dove $\omega =2\ \pi \ f\ \ con\ \ f$ = frequenza dello spettro.

Il risultato dello sviluppo dell'integrale di Fourier conduce alla funzione $G(\omega )$ di seguito indicata:

$G(\omega )={\frac {A(t_{2}-t_{1})}{2}}\left\vert {\frac {\sin \left[{\frac {(\omega -\omega _{0})(t_{2}-t_{1})}{2}}\right]}{\left[{\frac {(\omega -\omega _{0})(t_{2}-t_{1})}{2}}\right]}}\right\vert$

La $G(\omega )$ è caratterizzata dal valore assoluto della nota funzione $\operatorname {sen} x/x$ con $\omega$ variabile da $-\infty \ \ a\ \ +\infty$ lo spettro si estende per frequenze superiori ed inferiori a $\omega o$.

L'andamento della funzione $G(\omega )$ è mostrato in figura 2:

figura 2

La curva può essere tracciata, con lo stesso profilo, in funzione di $f$ invece di $\omega$ così come sarà fatto nell'esempio a seguire.

Esempio di calcolo dello spettro di un impulso

Sia dato l'impulso di figura 1 con le seguenti caratteristiche:

• durata $T\ (t2-t1)\ =\ 0.002\ S$
• frequenza $fo=10000\ Hz$
• $\omega o=2\ \pi \ fo$ = $6.28\cdot 10000\ Hz=62800$
• ampiezza $A=1000$

Applicando la funzione per il calcolo di $G(\omega )$ otteniamo la curva dello spettro di frequenza riportata in figura 3:

nella figura 3 si osserva:

• la curva è tracciata in un campo di frequenza compreso tra $8000\ Hz\ e\ 12000\ Hz$
• il massimo della funzione si ha per $f=fo=10000Hz$, ovvero per $\omega =\omega o=62800$
• esiste una frequenza $fi$, inferiore a $fo$, per la quale l'ampiezza dello spettro si annulla, il valore di $fi$ è calcolabile con l'espressione :

$fi\ =\ fo-[1/(t2-t1)]=10000-(1/0.002)=9500Hz$

• esiste una frequenza $fs$ , superiore a $fo$, per la quale l'ampiezza dello spettro si annulla, il valore di $fs$ è calcolabile con l'espressione :

$fs=fo+[1/(t2-t1)]=10000+(1/0.002)=10500\ Hz$

Per la valutazione della larghezza di banda del ricevitore delegato alla ricezione dell'impulso il cui spettro è individuato in figura 3 sono necessarie due considerazioni:

• lo spettro si estende indefinitivamente per frequenze rispettivamente inferiori e superiori di $fo$
• il prevalente contenuto di energia è contenuto nell'intervallo $fs-fi$, oltre il quale i valori d'ampiezza dello spettro si riducono progressivamente a livelli trascurabili

E' d'uso pertanto assumere la larghezza di banda $BW$ del filtro del ricevitore pari a:

$BW=fs-fi$; nel nostro esempio $BW=fs-fi=1000\ Hz$.

Chiudiamo l'esempio con una semplice formula che consente il calcolo immediato della larghezza di banda del filtro:

indicata con $T=t2-t1$ la durata dell'impulso si ha: $BW=2/T$; in tal modo si considera anche l'ulteriore estensione della banda a seguito dell'effetto Doppler.

Il filtro passa banda del ricevitore

Un sistema ricevente per il sonar attivo deve avere idonei filtri di banda per consentire il passaggio dell'impulso d'eco e contemporaneamente bloccare il rumore del mare fuori dalla banda stessa.

Un filtro passa banda ideale è un circuito che ha il compito di consentire il passaggio di tensioni elettriche la cui frequenza può essere compresa tra $f1\ ed\ f2$ ; al di fuori di questo intervallo tutte le tensioni vengono bloccate e all’uscita del filtro non si ha alcun segnale.

Il comportamento di un filtro passa banda reale ha però un comportamento molto diverso nell’intervallo di frequenze che precede $f1$ e che segue $f2$ ; il percorso tra zona passante e zona non passante non avviene bruscamente ma gradualmente, secondo una curva caratteristica la cui pendenza è tanto più elevata quanto maggiore è la complessità del circuito passa banda.

La risposta del filtro passa banda tipo attenua le frequenze inferiori ad $f1$ e superiori ad $f2$ secondo certe curve caratterizzate dai punti di ascissa f1 ed f2 ed ordinate –3 dB per sezione (filtro Butterworth) .

Le pendenze delle curve sono espresse in dB/ottava; i valori di $f1\ e\ di\ f2$ sono detti frequenze di taglio.

Lo schema elettrico di un filtro passa banda tipo Butterworth a 2 sezioni, nella configurazione circuitale per prove di laboratorio, detto con cellule ad m, è mostrato in figura 4:

figura 4

Per il calcolo dei componenti valgono le seguenti formule:

*L1 = R / [ π * (f 2 – f1 )] 
*L2 = R * ( f2 – f1 ) / ( 2* π * f1 * f2 ) 
*C1 = ( f2 – f1 ) / ( 4* π * f1 * f2 * R ) 
*C2 = 1/ [ 2 * π * (f 2 – f1 ) * R ] 
*C3 = 2 * C2 
*L3 = L2 / 2 

dove C è espresso in Farad L in Henry e R in Ohm.

La curva di risposta in ampiezza del filtro passa banda

Secondo le formule di calcolo indicate in precedenza dimensioniamo un filtro che abbia la banda passante compresa tra $9500\ Hz\ e\ 10550\ Hz$ così da consentire il transito dell'impulso il cui spettro è riportato in figura 3, bloccando altresi il rumore del mare fuori della banda.

Il calcolo porta al tracciamento della curva di risposta mostrata in figura 5:

figura 5

La curva di risposta ha in ascisse la frequenza espressa in $kHz$ ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $-4\ dB$ per divisione, per un totale di $-80\ dB$ .

La lettura delle caratteristiche della curva:

• Nella banda passante compresa tra $9500\ Hz\ e\ 10500\ Hz$ si ha un'attenuazione di $-6\ dB$ dovuta alle perdite d'inserzione
• Alle frequenze di taglio, $f1=9500\ Hz\ e\ f2=10500\ Hz$ l’attenuazione, è di $-12\ dB$
• Dalla frequenza di taglio $f2=10500\ Hz\ a\ f=12500\ Hz$, si evidenzia un salto d’attenuazione di $60\ dB$.
• Dalla frequenza di taglio $f1=9500\ Hz\ a\ f=8900\ Hz$, si evidenzia un salto attenuazione di circa $68\ dB$.

La curva di risposta in fase del filtro passa banda

I processi di elaborazione di un impulso d'eco ricevuto dal sonar possono essere di due tipi:

• A- I segnali provenienti dai banchi di filtri sono elaborati tramite rivelatori d'energia o di picco.
• B- I segnali provenienti dai banchi di filtri sono trattati con processi di correlazione.

Nel primo caso la legge della variazione di fase con la frequenza tra le tensioni all'uscita è ininfluente.

Nel secondo caso la legge della variazione di fase con la frequenza tra le tensioni all'uscita è di fondamentale importanza.

Per avere un'idea della variabilità della fase della tensione in uscita da un filtro si confrontano, in figura 6, l'andamento di fase di un tipo Butterworth in colore rosso e di un tipo lineare in colore blu.

figura 6

Come si vede da figura la legge della variazione di fase con la frequenza del filtro Butterworth non è lineare, di conseguenza le diverse frequenze che l’impulso può avere a causa dell’effetto Doppler non sono sfasate in proporzione al loro valore presentando quindi ritardi diversi in funzione della frequenza.

Per i filtri da impiegare nel trattamento dei segnali per correlazione è necessario, invece, che il ritardo sia costante al variare della frequenza come conseguenza dell'andamento lineare della fase ( retta blu di figura 6 ); questi filtri particolari sono denominati a fase lineare.

Esempio di condizione di linearità freqenza / fase :

Se la frequenza dell'eco è $f1=1000\ Hz$ e il filtro di banda la sfasa di $\alpha '=30$°

essendo il tempo di un periodo $t1=1/1000=1\ ms\$

il tempo di ritardo relativo allo sfasamento $\alpha '$ sarà:

$\alpha '=30^{\circ }\cdot 1\ ms/360^{\circ }$ = $83.33\ \mu s$

Se la frequenza dell'eco è $f2=2000\ Hz$ e il filtro di banda la sfasa di $\alpha ''=60$°

essendo il tempo di un periodo $t2=1/2000=0.5\ ms$

il tempo relativo allo sfasamento $\alpha ''$ sarà:

$\alpha ''=60^{\circ }\cdot 0.5\ ms/360^{\circ }$ = $83.33\ \mu s$

Si dimostra quindi come un filtro di banda se avesse la risposta lineare in fase non provocherebbe, al variare della frequenza alcun ritardo temporale sull'eco.

Bibliografia

A. Papoulis, The Fourier integral and its applications, Mc Graw_hill, New York, 1062

F.E. TERMAN, Manuale di ingegneria radiotecnic, A. Martello editore Milano, 1960