Amplificatori operazionali (superiori)

L'Amplificatore Operazionale viene così chiamato poiché è in grado di eseguire operazioni matematiche su segnali analogici, come somme algebriche, moltiplicazioni per una costante, logaritmi, esponenziali, derivate, integrali, equazioni differenziali, e altro ancora. Si presenta - per via della sua complessità circuitale interna - sotto forma di un singolo circuito integrato.

Caratteristiche fondamentali

L'Amplificatore operazionale, internamente, è costituito da circa quaranta transistor e lavora su tre stadi di amplificazione. Quello che però qui interessa non è analizzare le sue caratteristiche intrinseche, quanto saperne cogliere un modello matematico astratto capace di descriverne il funzionamento.

Il suo simbolo elettrico è riportato in figura

Si consideri - invece - lo schema che segue come un modello matematico dell'Amplificatore operazionale. È dotato di due ingressi perché rientra nella categoria degli amplificatori differenziali. Non amplifica la tensione in ingresso, ma la differenza di potenziale tra i due ingressi pari a $V_{OUT}=G(V_{+}+V_{-})$.

Pertanto, è facile ricavare il primo parametro dell'amplificatore operazionale:

$A_{c}=0,$

infatti, volendo appartenere alla categoria degli amplificatori differenziali, l'amplificazione a modo comune, la tensione in uscita quando entrambi gli ingressi $V_{+}$ e $V_{-}$ hanno la medesima tensione deve essere nulla.

Invece, per quanto riguarda l'amplificazione differenziale $A_{d}$, la richiesta è un'amplificazione infinita. Anche se tale requisito può apparire, in prima istanza, assurdo, verrà chiarito tra breve. Si scriverà, pertanto:

$A_{d}=\infty .$

Nei casi reali si riescono a ottenere amplificatori operazionale con amplificazioni differenziali con valori superiori ai $100~{\text{dB}}$, pari a $100~000{\text{ V/V}}$, in termini assoluti.

Ora si analizzano le resistenze di ingresso $R_{IN}$ e uscita $R_{OUT}$. In ingresso si desidera una resistenza infinita, per non alterare l'equilibrio del circuito a monte e non assorbirgli corrente. Diversamente, in uscita si desidera una resistenza nulla, per trasferire tutta la potenza generata al carico. Pertanto, si scriverà:

${\begin{matrix}R_{IN}=\infty \\R_{OUT}=0\end{matrix}}.$

Quanto alla banda passante anch'essa la si desidera infinita:

$B=\infty .$

Va da sé che tutti questi parametri non saranno né nulli, né illimitati. È bene quindi chiarire quindi che il concetto di zero e di infinito che nell'ingegneria differisce da quello della matematica.

Una grandezza fisica si dice infinita, rispetto a un'altra, quando è maggiore di tre o più ordini di grandezza, ovvero almeno 1 000 volte più grande. Viceversa una grandezza fisica viene ritenuta nulla, rispetto ad un'altra, quando è minore di tre o più ordini di grandezza, ovvero almeno 1 000 volte più piccola rispetto a quella di riferimento.

Massa virtuale

Prima di procedere, è bene introdurre un concetto che sarà molto utile in seguito, la massa virtuale.

Se in uscita si ha una tensione finita - come è normale che sia - e l'amplificatore non è in condizione di saturazione (ovvero non fornisce la massima tensione possibile, data dalla tensione di alimentazione), essendo $A_{d}=\infty$, si ha:

${\begin{aligned}&V_{OUT}=A_{d}(V_{+}-V_{-})\\&V_{+}-V_{-}={\frac {V_{OUT}}{A_{d}}}={\frac {V_{OUT}}{\infty }}\rightarrow 0\\&V_{+}\simeq V_{-}\end{aligned}}$

Questo concetto è noto come massa virtuale: i due terminali d'ingresso dell'amplificatore operazionale, in condizioni ordinarie, presentano la stessa tensione.

Amplificatore operazionale reale

Sinora si è parlato dell'amplificatore operazionale come di un ente astratto. Nel mondo reale occorre fare approssimazioni e accontentarsi di esse. Inoltre è bene tenere presente che l'amplificatore operazionale reale non è un amplificatore di potenza. Lavora con piccoli segnali e - tipicamente - al massimo può gestire potenze pari a $500{\text{ mW}}$.

Premesso questo non è opportuno utilizzare (nella realizzazione dei circuiti che di seguito verranno illustrati) resistenze troppo piccole per due ordini di ragioni:

1. una resistenza piccola implica, a parità di tensione, un maggior flusso di corrente, dunque una maggior dissipazione di potenza. In un'epoca dove il risparmio energetico è una priorità il buon progettista deve essere attento a questi aspetti;
2. se quanto detto non bastasse, supponiamo di utilizzare una resistenza di $1~\Omega$, sottoposta a una differenza di potenziale di $5{\text{ V}}$. La corrente che vi transita è quindi $5{\text{ A}}$, pertanto la potenza a cui si sottopone l'amplificatore operazionale sarà $25{\text{ W}}$. Non serve aggiungere altro: l'integrato è stato appena distrutto.

Detto questo si sarebbe tentati di utilizzare resistenze molto grandi, dell'ordine del ${\text{M}}\Omega$, ma nemmeno questa strada è praticabile. La resistenza d'ingresso dell'operazionale è infinita solo nel desiderio del progettista. In realtà il suo valore tipico è $R_{i}=2{\text{ M}}\Omega$. Quindi il miglior compromesso è utilizzare resistenze il cui valore va da un minimo di $100~\Omega$ sino a un massimo di $100{\text{ k}}\Omega$.

Un'ultima cosa di non poco conto: l'amplificatore non è un trasformatore. Il trasformatore è un componente passivo: non necessita di alimentazione e in uscita eroga la potenza che aveva in ingresso o poco meno (a causa del rendimento sempre inferiore al 100 %). Quindi se si aumenta la tensione, si diminuisce la corrente e viceversa.

L'amplificatore, invece, è un componente attivo e presenta le seguenti caratteristiche:

1. deve essere alimentato, diversamente non funziona;
2. la potenza in uscita può essere maggiore di quella in ingresso. Questo non deve stupire: la potenza in eccesso viene fornita dall'alimentazione;
3. avendo un'alimentazione (nel caso dell'amplificatore operazionale un'alimentazione duale) l'uscita non potrà superare la tensione fornita dall'alimentatore, anzi: si fermerà poco prima. Questo fenomeno è noto come saturazione.

Saturazione

La saturazione è un fenomeno tipico di ogni amplificatore. Discende dal fatto che esso non può produrre un'energia infinita (purtroppo).

Per meglio comprenderla è possibile rifarci ad un esempio noto a tutti, come mostrato in figura.

Non serve essere ingegneri per capire che in questi contesti l'amplificatore "fischia". Se si volesse essere più precisi parleremmo di effetto Larsen, ma questi dettagli non verranno analizzati in questa sede, bensì riproposti a chi frequenterà corsi di fisica o ingegneria.

È importante sapere solo questo: inizialmente tutto tace, il dispositivo è posto in un luogo dove regna il più alto silenzio. A questo punto è sufficiente il battito d'ali di una farfalla, il quale verrà percepito dal microfono; sarà amplificato e riprodotto; il risultato sarà di nuovo registrato dal microfono e inviato all'amplificatore. Questo continuerà finché - nel giro di pochi microsecondi - si arriverà alla saturazione: l'amplificatore erogherà la sua potenza massima. Non si ascolterà il segnale d'ingresso (il battito d'ali di quello che fu un lombrico), ma la sua distorsione che tutti conosciamo.

Nel caso dell'amplificatore operazionale saranno le tensioni di saturazione, prossime a quelle dell'alimentazione positiva e negativa.

Slew-rate

Slew-rate (in verde)

Lo slew-rate è un parametro che rappresenta la velocità di risposta, utile per studiare la velocità di transizione del segnale in uscita da una tensione a un'altra. Si è già detto che l'amplificatore operazionale ideale ha una banda infinita, invece i limiti sono naturalmente presenti.

Si consideri un ingresso nel quale viene applicato un segnale a gradino; cosa ci si deve aspettare in uscita? Purtroppo, non un segnale a gradino, perché l'amplificatore operazionale - come ogni dispositivo fisico - impiega del tempo per passare da uno stato energetico a un altro, diversamente violerebbe la teoria della relatività di Einstein che impone una velocità massima a tutti gli oggetti, elettroni inclusi.

L'equazione per il suo studio è:

${\text{SR}}={\frac {\Delta V}{\Delta t}},$

ovvero un'equazione analoga a quella della velocità, dove - al posto dello spazio - è stata inserita la variazione di tensione $\Delta V$.

Il suo valore tipico è ${\text{SR}}=0,5~{\text{V}}/\mu {\text{s}}$.

Aggiungendo retroazione negativa si limita il guadagno aumentando la banda passante dell'amplificatore.

Gain Band-Width

Il concetto di slew-rate, appena introdotto, comporta che - ad alte frequenze - l'amplificatore operazione faticherà sempre più a seguire il segnale d'ingresso.

La conseguenza è un limite fisico, variabile a seconda delle caratteristiche intrinseche dell'amplificatore stesso, noto come gain band-width o GBW: il prodotto tra il modulo del suo guadagno ad anello aperto $A_{d}$ (il guadagno dell'operazionale senza controllo in retroazione) e la sua frequenza di taglio a $-3~{\text{dB}}$.

Ovvero, più è elevato il guadagno (gain), minore è l'ampiezza della banda passante (band-with). Questo parametro, specificato per ciascun amplificatore, è molto importante poiché, essendo costante a qualsiasi frequenza, consente di determinare il massimo guadagno ottenibile a una data frequenza (e viceversa).

Il suo valore tipico è ${\text{GBW}}=1{\text{ MHz}}$.

Rapporto di reiezione di modo comune

Il rapporto di reiezione di modo comune, o CMRR, è un parametro che misura la "vicinanza" di un amplificatore operazionale reale a quello ideale.

La sua definizione, infatti, è:

${\text{CMRR}}=20\log _{10}\left({\frac {A_{d}}{A_{c}}}\right)$

ovvero il rapporto tra l'amplificazione differenziale (che si desidera infinita) e l'amplificazione a modo comune (che si desidera nulla) espressa in decibel.

Il suo valore tipico è ${\text{CMRR}}=90~{\text{dB}}$.

Piedinatura del circuito integrato

DIP di un amplificatore operazionale

L'amplificare operazionale μA741 si presenta sotto forma di circuito integrato. È fondamentale conoscere a cosa corrisponde ogni singolo pedino per la sua corretta connessione.

Amplificatore invertente

In figura è mostrato lo schema elettrico dell'amplificatore invertente, chiamato così perché la tensione in uscita è sfasata di $180^{\circ }$ rispetto a quella in ingresso. La dimostrazione del suo funzionamento è molto semplice se si ricorda il principio della massa virtuale, ovvero che le tensioni nei terminali $V_{+}$ e $V_{-}$ sono le medesime.

Amplificatore invertente

Si ha:

$V_{+}=V_{-}=0~{\text{V}},$

con questa premessa è possibile calcolare la corrente che circola su $R_{1}$:

$I_{R_{1}}={\frac {V_{IN}-0}{R_{1}}}={\frac {V_{IN}}{R_{1}}}.$

Per il principio della massa virtuale, e ricordando che - secondo il modello matematico dell'amplificatore operazionale - $R_{IN}=\infty$ la corrente non entra nell'amplificatore stesso, ma va tutta sulla resistenza $R_{2}$. Pertanto si può scrivere:

$I_{R_{1}}=I_{R_{2}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {V_{IN}}{R_{1}}}={\frac {0-V_{OUT}}{R_{2}}},$

ovvero:

${\frac {V_{IN}}{R_{1}}}=-{\frac {V_{OUT}}{R_{2}}}.$

Pertanto, il guadagno in tensione dell'amplificatore invertente, sarà pari a:

$G={\frac {V_{OUT}}{V_{IN}}}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}.$

Amplificatore non invertente

A differenza dell'amplificatore invertente, l'amplificatore non invertente non sfasa il segnale d'ingresso, ma lo riporta in uscita così com'è.

Si noti, a tal proposito, che la tensione d'ingresso è nel terminale $V_{+}$, mentre nell'amplificatore invertente era nel terminale $V_{-}$.

Amplificatore non invertente

Anche in questo caso, la dimostrazione del suo funzionamento è semplice: basta ricordare il principio della massa virtuale, e che le tensioni nei terminali $V_{+}$ e $V_{-}$ sono le medesime.

$I_{R_{1}}={\frac {V_{IN}-0}{R_{1}}}={\frac {V_{IN}}{R_{1}}}.$

Mentre, per quel che riguarda $R_{2}$, si ha:

$I_{R_{2}}={\frac {V_{OUT}-V_{IN}}{R_{2}}}.$

Essendo $I_{R_{1}}=I_{R_{2}}$, si ha:

${\frac {V_{IN}}{R_{1}}}={\frac {V_{OUT}}{R_{2}}}-{\frac {V_{IN}}{R_{2}}},$

da cui segue:

${\frac {V_{IN}}{R_{1}}}+{\frac {V_{IN}}{R_{2}}}={\frac {V_{OUT}}{R_{2}}},$

${\frac {V_{OUT}}{R_{2}}}=V_{IN}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).$

Pertanto, il guadagno in tensione dell'amplificatore non invertente è pari a:

$G={\frac {V_{OUT}}{V_{IN}}}=1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

In figura viene mostrata la curva caratteristica di un amplificatore non invertente all'oscilloscopio. La retta inclinata rappresenta la zona di linearità, dove l'uscita è pari all'ingresso moltiplicato per il guadagno $G$. Si noti che la pendenza della curva è superiore a $45^{\circ }$, poiché il guadagno dell'amplificatore è sempre superiore o uguale all'unità.

Le due rette parallele all'asse delle ascisse, invece, sono la zona di saturazione. Infatti, l'amplificatore operazionale, essendo un componente attivo, non può erogare una tensione superiore o inferiore alla tensione di alimentazione.

Tensione ingresso/uscita di un amplificatore non invertente

Inseguitore di tensione

L'inseguitore di tensione è un caso particolare dell'amplificatore non invertente, dove i parametri sono pari a:

${\begin{matrix}R_{1}=\infty \\R_{2}=0\end{matrix}},$

i quali determinano un guadagno pari a $G=1$.

Inseguitore di tensione

Tale circuito si rivela molto utile quando si desidera disaccoppiare due diversi stadi di circuiti (a monte e a valle) in modo che le loro resistenze di uscita e di ingresso non si trovino in parallelo, alterando così i rispettivi dimensionamenti circuitali.

Sommatore di tensione

Il sommatore di tensione - di cui in figura è mostrata la configurazione invertente - esegue la somma pesata dei segnali in ingresso.

Questo significa che la tensione in uscita sarà pari a:

$V_{OUT}=-R_{F}\left({\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}+{\frac {V_{3}}{R_{3}}}\right).$

La dimostrazione è molto semplice, ed è la medesima dell'amplificatore invertente. Per ottenere l'equazione sovrastante è sufficiente applicare il principio di sovrapposizione degli effetti ai vari ingressi - che naturalmente possono essere anche più di tre - a seconda delle esigenze tecnologiche.

Le resistenze di ingresso, $R_{1}$, $R_{2}$ e $R_{3}$ possono essere sia uguali, sia differenti. Vengono scelte uguali quando si desidera ottenere la somma algebrica delle tensioni di ingresso, ottenendo:

$V_{OUT}=-{\frac {R_{F}}{R}}(V_{1}+V_{2}+V_{3})$

Vengono scelte differenti quando si vuol dare un diverso peso specifico a ogni tensione in ingresso.

Sommatore di tensione

Convertitore digitale/analogico a reti pesate

Convertitore a 4 bit

$V_{OUT}=-{\frac {R_{F}}{R}}\left(B_{0}\cdot 2^{0}+B_{1}\cdot 2^{1}+B_{2}\cdot 2^{2}+B_{3}\cdot 2^{3}\right)$

Convertitore a 8 bit

$V_{OUT}={\frac {R_{F}}{R}}{\frac {R_{F}}{R}}\left(B_{0}\cdot 2^{0}+B_{1}\cdot 2^{1}+B_{2}\cdot 2^{2}+B_{3}\cdot 2^{3}+B_{4}\cdot 2^{4}+B_{5}\cdot 2^{5}+B_{6}\cdot 2^{6}+B_{7}\cdot 2^{7}\right)$

Amplificatore differenziale

Come detto in precedenza, l'amplificatore operazionale rientra nella categoria degli amplificatori differenziali. Quindi, ogni amplificatore sin qui mostrato è un amplificatore differenziale.

Tuttavia, avendo a disposizione due ingressi, uno invertente e uno non invertente è possibile sfruttarli entrambi al fine di ottenere una connessione di carattere più generale di quelle mostrate con l'amplificatore invertente e l'amplificatore non invertente.

I punti di partenza per l'analisi di un circuito che utilizzi un amplificatore operazionale come amplificatore differenziale sono sempre due:

1. massa virtuale tra i terminali di ingresso, i quali si troveranno - quindi - al medesimo potenziale $V'$;
2. assenza di correnti entranti nella massa virtuale, dovute alla $R_{I}=\infty$ dell'operazionale.

Amplificatore differenziale

Pertanto, per quanto riguarda lo schema elettrico di figura - per la tensione $V_{2}$ - si ha (applicando la regola del partitore di tensione):

$V'=V_{2}{\frac {R_{G}}{R_{G}+R_{2}}},$

mentre, per quel che riguarda la tensione $V_{1}$ è possibile scrivere:

${\frac {V_{1}-V'}{R_{1}}}={\frac {V'-V_{OUT}}{R_{F}}}.$

Mettendo a sistema queste due equazioni, così da eliminare $V'$, con un po' di algebra si ottiene:

$V_{OUT}={\frac {(R_{1}+R_{F})R_{G}}{(R_{G}+R_{2})R_{1}}}V_{2}-{\frac {R_{F}}{R_{1}}}V_{1}.$

Dimostrazione

Come detto occorre mettere a sistema

${\begin{cases}V'=V_{2}{\frac {R_{G}}{R_{G}+R_{2}}}\\{\frac {V_{1}-V'}{R_{1}}}={\frac {V'-V_{OUT}}{R_{F}}}\end{cases}}$,

da cui si ottiene

${\frac {V_{1}}{R_{1}}}-V_{2}{\frac {R_{G}}{R_{1}(R_{G}+R_{2})}}=V_{2}{\frac {R_{G}}{R_{F}(R_{G}+R_{2})}}-{\frac {V_{OUT}}{R_{F}}}.$

Riordinando, si ottiene:

${\frac {V_{OUT}}{R_{F}}}=V_{2}\left[{\frac {R_{G}}{R_{1}(R_{G}+R_{2})}}+{\frac {R_{G}}{R_{F}(R_{G}+R_{2})}}\right]-{\frac {V_{1}}{R_{1}}},$

${\frac {V_{OUT}}{R_{F}}}=V_{2}{\frac {R_{G}(R_{F}+R_{1})}{R_{F}R_{1}(R_{G}+R_{2})}}-{\frac {V_{1}}{R_{1}}},$

${\begin{aligned}&V_{OUT}=V_{2}{\frac {R_{G}(R_{F}+R_{1})}{R_{1}(R_{G}+R_{2})}}-V_{1}{\frac {R_{F}}{R_{1}}}.\\&\blacksquare \end{aligned}}$

Nel caso particolare in cui $R_{1}=R_{2}=R$ e $R_{G}=R_{F}$ si ottiene:

$V_{OUT}={\frac {R_{F}}{R}}(V_{2}-V_{1}).$

Amplificatore da strumentazione

Il limite principale dell'amplificatore differenziale è avere una bassa impedenza d'ingresso, che può alterare l’equilibrio del circuito a monte. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre all'amplificatore da strumentazione, costituito da un amplificatore differenziale, preceduto da due inseguitori di tensione.

Il suo principale difetto (se così si può dire) è il fatto che i tre amplificatori differenziali devono essere di alta qualità e le resistenze $R_{1}$, $R_{2}$ e $R_{3}$ devono essere il più possibile identiche.

Amplificatore da strumentazione

Il guadagno può essere determinato facilmente separando i due stadi: gli inseguitori di tensione e l'amplificatore differenziale. Il secondo già è noto, non è nota la tensione ai suoi ingressi ai capi delle due $R_{1}$ e $R_{\mathrm {gain} }$.

Per determinare questa tensione (che verrà chiamata $V'$), è necessario conoscere la corrente che circola sulle tre resistenze. Ricordando il concetto di massa virtuale, sono note le tensioni ai capi di $R_{\mathrm {gain} }$, pertanto si ha:

$I_{\mathrm {gain} }={\frac {V_{2}-V_{1}}{R_{\mathrm {gain} }}}.$

Pertanto, essendo nulla la corrente in ingresso agli operazionali, si ha che le due $R_{1}$ e $R_{\mathrm {gain} }$ sono connesse in serie. Pertanto si può scrivere:

$V'=(2R_{1}+R_{\mathrm {gain} })I_{\mathrm {gain} }=(2R_{1}+R_{\mathrm {gain} }){\frac {V_{2}-V_{1}}{R_{\mathrm {gain} }}}=\left(1+{\frac {2R_{1}}{R_{\mathrm {gain} }}}\right)(V_{2}-V_{1}),$

da cui, aggiungendo il guadagno dello stadio differenziale, si ottiene:

$V_{out}=\left(1+{\frac {2R_{1}}{R_{\mathrm {gain} }}}\right){\frac {R_{3}}{R_{2}}}(V_{2}-V_{1}).$

Amplificatori da strumentazione integrati

Come anticipato, l'amplificatore da strumentazione necessità di resistenze ben calibrate e - possibilmente - di tre amplificatori operazionali identici. Tutto ciò non è fisicamente irrealizzabile: è sufficiente costruire l'intero circuito in un singolo chip.

I principali sono i seguenti: AD620, AD624, INA111, INA114, INA116.

Quest'ultimo merita una menzione speciale poiché assorbe una corrente di bias estremamente bassa. Dal momento che l'impedenza d'ingresso degli amplificatori operazionali non sarà mai infinita, una minima corrente verrà sempre assorbita in ingresso. In questo caso questa corrente ha come valore tipico $I_{B}=\pm 3{\text{ fA}}$, ovvero $\pm 3\cdot 10^{-15}{\text{ A}}$. Inoltre è in grado di operare da –40°C fino a +125°C.

Integratore

Il circuito integratore, come suggerisce il nome, esegue l'integrale della tensione in ingresso. Pertanto la sua funzione di trasferimento è pari a:

$\displaystyle V_{OUT}=-{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{IN}(t)\mathrm {d} t+V_{0},$

dove $V_{0}$ è la tensione iniziale, e $V_{IN}(t)$ la tensione in ingresso in funzione del tempo.

Integratore di tensione

Dimostrare quest'espressione nel dominio del tempo è piuttosto complesso. Pertanto è preferibile utilizzare il dominio di Laplace (o il dominio della frequenza, ricordando che - nel dominio di Laplace - $s=\jmath \omega f$, con un discreto risparmio di inchiostro) e che, in questo caso, resistenza e condensatore diventano impedenze, i cui valori sono pari a:

${\begin{aligned}Z_{R}=R\\Z_{C}={\frac {1}{sC}}\end{aligned}}.$

Riscritto in questo dominio, il guadagno è il medesimo dell'amplificatore invertente ed è pari a:

$G=-{\frac {Z_{C}}{Z_{R}}}=-{\frac {1}{sRC}}.$

A questo punto, ricordando che nel dominio di Laplace ${\frac {1}{s}}$ equivale all'operazione di integrazione, si ottiene immediatamente l'espressione di partenza.

Derivatore

Il circuito derivatore - invece - esegue la derivata (l'operazione inversa dell'integrale) della tensione in ingresso. Pertanto la sua funzione di trasferimento è pari a:

$V_{OUT}=-RC{\frac {\mathrm {d} V_{IN}(t)}{\mathrm {d} t}}$

Derivatore di tensione

Anche in questo caso, dimostrare l'espressione di partenza nel dominio del tempo è difficile. Si utilizzerà nuovamente il dominio di Laplace, ricordando che resistenza e condensatore diventano impedenze come mostrato nel caso dell'integratore.

Si ottiene, similmente al caso precedente:

$G=-{\frac {Z_{R}}{Z_{C}}}=-sRC.$

Come si può immaginare - essendo integrale e derivata funzioni l'una l'inverso dell'altra - nel dominio di Laplace la variabile $s$ equivale a un'operazione di derivazione.

Circuito PID

Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.

In figura viene riportato il nucleo di un regolatore PID

Un esempio di circuito PID

La dimostrazione è molto semplice: si hanno tre circuiti: un amplificatore invertente, un integratore e un derivatore. Questi sono seguiti da un sommatore invertente.

La prima cosa che salta all'occhio è che l'uscita è non è sfasata rispetto all'ingresso, ma in fase, in quanto vi sono due blocchi invertenti in cascata.

Ricordando quanto detto sin qui, la tensione in uscita è pari a:

$V_{OUT}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}V_{P}+R_{3}C_{1}{\frac {\mathrm {d} V_{I}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{R_{4}C_{2}}}\int _{0}^{t}V_{P}(t)\mathrm {d} t$

nell'ipotesi che $R_{5}=R_{6}=R_{7}=R_{8}$.

In questo caso, o nel caso di parametri variabili (per gestire il controllo del sistema), si scriverà:

${\begin{cases}K_{P}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}\\K_{I}=R_{3}C1\\K_{D}={\frac {1}{R_{4}C_{2}}}\end{cases}}.$

Dove $K_{P}$, $K_{I}$ e $K_{D}$ sono le costanti proporzionali, integrative e derivative, con le quali si ottiene il controllo del sistema.

Tutto questo è parte del corso di controlli automatici e... se ne riparlerà in quella sede. La cosa che era interessante notare ora è come il nucleo di uno dei più utilizzati circuiti automatici è ottenibile con un circuito elementare. Attenzione: il circuito è elementare. Il suo utilizzo un po' meno.

Convertitore corrente/tensione

Il convertitore corrente/tensione (detto anche amplificatore in transimpedenza) converte una corrente in una tensione. È la struttura di base di molti preamplificatori.

Convertitore corrente/tensione

La configurazione di convertitore corrente/tensione viene utilizzata con i fotodiodi e altri sensori che si comportano come generatori di corrente.

Si ha:

$I_{IN}+I_{R}=0,$

da cui segue che:

$I_{IN}+{\frac {V_{OUT}}{R}}=0.$

Da cui si ottiene:

$V_{OUT}=-R\cdot I_{IN}.$

Con una resistenza $R=10~{\text{M}}\Omega$ l'amplificatore permette di ottenere una tensione di uscita di $10{\text{ V}}$ a partire da una corrente di $1~\mu {\text{A}}$, su un'uscita a bassa impedenza.

Filtro attivo passa-basso

I filtri si possono suddividere in due categorie: passivi e attivi. Un filtro si definisce passivo quando viene realizzato esclusivamente mediante componenti elettrici senza alimentazione suppletive. Questo implica che l'uscita avrà un valore di tensione inferiore a quella d'ingresso.

Diversamente, i filtri attivi hanno un amplificatore e l'uscita è amplificata rispetto all'ingresso.

I filtri passa-basso lasciano passare le frequenze al di sotto di una determinata frequenza $f_{c}$ detta frequenza di taglio.

Filtro attivo passa-basso

Come prima cosa si procede col calcolo dell'impedenza in retroazione, data dal parallelo della resistenza e del condensatore. Si lavorerà, come fatto per il circuito integratore e derivatore, nel dominio di Laplace. Si ha:

$Z_{F}(s)=R//C={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{\frac {1}{sC}}}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{sC}}}{R+{\frac {1}{sC}}}}={\frac {\frac {R}{sC}}{\frac {1+sRC}{sC}}}={\frac {R}{1+sRC}}.$

Pertanto, la funzione di trasferimento $H(s)$ del filtro passa-basso sarà pari a:

$H(s)=-{\frac {Z_{F}(s)}{Z_{R}(s)}}=-{\frac {R}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{R}}=-{\frac {1}{1+sRC}}.$

A questo punto è possibile calcolare la frequenza di taglio $f_{c}$ della funzione di trasferimento $H(s)$:

$f_{c}=-{\frac {1}{2\pi RC}}.$

Se, invece, le resistenze sono differenti ($R_{1}$ e $R_{2}$ come di consueto), si ha:

${\begin{cases}Z_{F}(s)=R_{2}//C={\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+sC}}\\Z_{R}(s)=R_{1}\end{cases}}$

da cui si ottiene:

$H(s)=-{\frac {Z_{F}(s)}{Z_{R}(s)}}=-{\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+sC}}\cdot {\frac {1}{R_{1}}}=-{\frac {1}{{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+sR_{1}C}}.$

Per calcolare agevolmente la banda passante, in $H(s)$, dove è presente ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ dovremmo avere 1. Pertanto si scriverà:

$H(s)=-{\frac {1}{{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+sR_{1}C}}=-{\frac {\frac {R_{2}}{R_{1}}}{{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}+sR_{1}C\right)}}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}{\frac {1}{1+sR_{2}C}}.$

Ovvero, il guadagno è dato da $G=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$, mentre la frequenza di taglio viene determinata dai componenti $R_{2}$ e $C$.

In sede di progettazione, la soluzione più efficiente consiste nel determinare prima il guadano e, successivamente, la frequenza di taglio, a seconda del valore di $R_{2}$ che si è ottenuto.

Amplificatore operazionale a transconduttanza

Nell'amplificatore operazionale - a livello intrinseco - lo stadio che determina in maggior misura, le sue prestazioni è lo stadio differenziale d'ingresso.

È interessante osservare come la cascata tra uno stadio differenziale e uno di guadagno (senza considerare il terzo stadio di uscita finale) non è altro che un amplificatore operazionale in transconduttanza.

Naturalmente, è possibile ottenere un amplificatore operazionale in transconduttanza anche partendo da un amplificatore operazionale. Tale dispositivo elettronico trova ampio impiego nel settore musicale.

Oscillatore OTA-C bassa-basso

In Figura è riportato lo schema elettrico (non teorico, ma per applicazioni pratiche) di un oscillatore OTA-C con comportamento passa-basso. Tale circuito trova ampio uso in ambito musicale. In particolare è utilizzato nel sintetizzatore Roland SH-09 e Polyfusion. Anche se popolarmente noto per il suo utilizzo nei sintetizzatori di musica analogica, in generale, questo circuito trova anche altre applicazioni in elettronica militare e industriale.

Il Roland SH-09 è un piccolo sintetizzatore, piuttosto scarno, della serie SH della Roland. Il suo singolo oscillatore produce solo forme d'onda PWM, a rampa, onda quadra e rumore bianco. Ha un'architettura simile all'SH-101, il suo oscillatore controllato in tensione (VCO, Voltage-Controlled Oscillator) può passare da un gate o da un inviluppo, il suo filtro controllato in tensione (VCF, Voltage-Controlled Filter) è piuttosto standard e presenta una funzione di campionamento ottima per il filtraggio in tensione. Un'altra caratteristica interessante è il suo ingresso esterno, il quale permette di filtrare audio esterno attraverso il suo VCF.

I sintetizzatori Polyfusion - e relativi manipolatori sonori - sono una famiglia in rapida espansione, molto apprezzata da professionisti e appassionati. I grandi pickup sono solo una parte dei sintetizzatori; l'altra sono le chitarre Polyfusion e i bassi preamplificati. Questi preamplificatori sfruttano lo spettro dinamico completo della chitarra elettrica fornendo una vasta gamma di vantaggi per la performance della chitarra stessa. Sono presenti anche una linea di pedali per il controllo e la pianificazione del volume sia mono, sia stereo. L'inseguitore di frequenza FF-1 può trasformare qualsiasi cosa che produce un tono in un controllore di sintetizzatori, utilizzando la chitarra per guidare il gruppo di sintetizzatori.

Nei sintetizzatori musicali, il VCF è il componente responsabile di gran parte della timbrica riprodotta dallo strumento. Negli strumenti musicali acustici, l'andamento delle armoniche, oltre ad altri parametri acustici - considerati nel dominio del tempo - presentano variazioni sia periodiche (come il tremolo e il vibrato) che aperiodiche (come il decadimento del suono); in un sintetizzatore è possibile simulare l'andamento di variazione delle armoniche prodotte da un VCO, controllando i parametri del filtro mediante l'impiego di tensioni, a loro volta generate da un generatore di inviluppo o da controllori manuali (come i Pitch Wheel, o i pedali).

Il Roland SH-09 è stato usato da molti artisti tra cui Orbital, Vince Clarke, BT, Conemelt, Josh Wink, Banco De Gaia, Mr. Oizo, Ladytron, Jimmy Edgar, Dave Holmes, Freddy Fresh, OMD e 808 State.

Il Polyfusion è stato usato da artisti tra cui Steve Porcaro, Quique, Teases & Dares, Elizabeth Fraser, Robin Guthrie, Simon Raymonde e Vince Clarke.

dOscillatore OTA-C passa-basso

Dato il suo vasto impiego il circuito elettrico di figura lo si trova anche integrato in un unico circuito: il CA3080.

Il rendimento di $V_{-}$, applicando il principio di Kirchhoff è pari a:

${\begin{aligned}{\frac {1}{R_{B}}}\left(V_{IN}(s)-V_{-}(s)\right)+{\frac {1}{R_{B}}}\left(V_{OUT}(s)-V_{-}(s)\right)&={\frac {1}{R_{S}}}V_{-}(s)\\V_{-}(s)&={\frac {R_{S}}{R_{B}+2R_{S}}}\left(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)\right).\end{aligned}}$

$V_{+}$ è connesso a massa. Pertanto, la corrente $I_{OUT}$ all'uscita dell'OTA è pari a:

${\begin{aligned}I_{OUT}(s)&=G_{M}(V_{+}(s)-V_{-}(s))\\&=-19,2\cdot I_{C}{\frac {R_{S}}{R_{B}+2R_{S}}}(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)).\end{aligned}}$

L'amplificatore operazionale è utilizzato come inseguitore di tensione, quindi:

${\begin{aligned}V_{OUT}(s)&=V'_{+}(s)\\&={\frac {1}{sC}}I_{OUT}(s)\\&=-19,2\cdot I_{C}{\frac {R_{s}}{R_{B}+2R_{S}}}(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)){\frac {1}{sC}}.\end{aligned}}$

Avendo ottenuto $V_{OUT}$, dividendo per $V_{IN}$, si ottiene la funzione di trasferimento $H(s)$:

$H(s)=-{\frac {1}{1+{\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}sC{\frac {1}{19,2I_{C}}}}},$

la quale ha una frequenza di taglio $f_{c}$ pari a:

${\begin{aligned}0&=1+{\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}2\pi C\cdot {\frac {f_{c}}{19,2I_{C}}}\\f_{c}&=-{\frac {19,2I_{C}}{2\pi {\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}C}}.\end{aligned}}$

Oscillatore OTA integratore bassa-basso

Questo circuito è una variante dell'Oscillatore OTA-C bassa-basso. Tale circuito è coperto da brevetto US3805091 A, depositato da Danielle Colin nel 1972.

Tale circuito trova ampio uso in ambito musicale. In particolare è utilizzato nel sintetizzatore Roland System 700 VCF (CA3080).

Il Roland System 700 è stato usato da moltri artisti, tra cui: Rhett Lawrence, Isao Tomita, Matthias Becker, Vince Clarke, Depeche Mode, Klaus Netzle, The Human League, Visage, Hans Zimmer, Giorgio Moroder.

Oscillatore OTA integratore bassa-basso

Il rendimento di $V_{-}$, applicando il principio di Kirchhoff è pari a:

${\begin{aligned}{\frac {1}{R_{B}}}\left(V_{IN}(s)-V_{-}(s)\right)+{\frac {1}{R_{B}}}\left(V_{OUT}(s)-V_{-}(s)\right)&={\frac {1}{R_{S}}}V_{-}(s)\\V_{-}(s)&={\frac {R_{S}}{R_{B}+2R_{S}}}\left(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)\right).\end{aligned}}$

$V_{+}$ è connesso a massa. Pertanto, la corrente $I_{OUT}$ all'uscita dell'OTA è pari a:

${\begin{aligned}I_{OUT}(s)&=G_{M}(V_{+}(s)-V_{-}(s))\\&=-19,2\cdot I_{C}{\frac {R_{S}}{R_{B}+2R_{S}}}(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)).\end{aligned}}$

L'amplificatore operazionale è utilizzato come convertitore corrente/tensione (invertente). Pertanto, si ha:

${\begin{aligned}V_{OUT}(s)&=-I_{OUT}(s)Z_{feedback}(s)\\&=-{\frac {1}{sC}}I_{OUT}(s)\\&=-19,2I_{C}{\frac {R_{S}}{R_{B}+2R_{S}}}(V_{IN}(s)+V_{OUT}(s)){\frac {1}{sC}}.\end{aligned}}$

Avendo ottenuto $V_{OUT}$, dividendo per $V_{IN}$, si ottiene la funzione di trasferimento $H(s)$:

$H(s)=-{\frac {1}{1+{\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}sC{\frac {1}{19,2I_{C}}}}},$

la quale ha una frequenza di taglio $f_{c}$ pari a:

${\begin{aligned}0&=1+{\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}2\pi C\cdot {\frac {F_{C}}{19,2I_{C}}}\\F_{C}&=-{\frac {19,2I_{C}}{2\pi {\frac {(R_{B}+2R_{S})}{R_{S}}}C}}.\end{aligned}}$

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