Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

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Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)Modifica

Sia   una funzione continua in   a valori reali. Allora  .


DimostrazioneModifica

  è continua in   per ipotesi, dunque  .

Sia poi   una scomposizione con parametro di finezza  . Si ha

  .

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni   esistono degli   tali che   e  .

Si ha inoltre che   e per la continuità, abbiamo   e infine

 

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che  .

 


Corollario (integrabilità delle funzioni monotone in un intervallo chiuso)Modifica

DimostrazioneModifica

ProposizioneModifica

Sia   una funzione limitata e sia  . Allora

  .


DimostrazioneModifica

Proposizione (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo aperto)Modifica

DimostrazioneModifica

ProposizioneModifica

DimostrazioneModifica