Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

Analisi matematica > Altri criteri di integrabilità secondo Riemann


appunti
appunti
Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%

Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)

modifica

Sia   una funzione continua in   a valori reali. Allora  .


Dimostrazione
modifica

  è continua in   per ipotesi, dunque  .

Sia poi   una scomposizione con parametro di finezza  . Si ha

  .

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni   esistono degli   tali che   e  .

Si ha inoltre che   e per la continuità, abbiamo   e infine

 

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che  .

 


Corollario (integrabilità delle funzioni monotone in un intervallo chiuso)

modifica
Dimostrazione
modifica

Proposizione

modifica

Sia   una funzione limitata e sia  . Allora

  .


Dimostrazione
modifica

Proposizione (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo aperto)

modifica
Dimostrazione
modifica

Proposizione

modifica
Dimostrazione
modifica