Algoritmi di correlazione per rilevamenti sonar

La capacità del sonar nella scoperta di bersagli in presenza di elevato rumore ambiente è dovuta all'impiego di processi di correlazione caratterizzati dai loro algoritmi.

Segnale di un bersaglio scoperto dal sonar con le tecniche di correlazione: per $S/N=-14\ dB$

Gli algoritmi di correlazione nel rilevamento sonar sono gli strumenti matematici usati per descrivere il comportamento dei sistemi di correlazione.

Gli algoritmi di correlazione, implementati in hardware o in software negli apparati di localizzazione subacquea, consentono di scoprire in mare segnali acustici]] altrimenti difficilmente rivelabili.

Il correlatore

Schema a blocchi di un correlatore.

Il correlatore ha lo scopo di rivelare segnali coerenti tra loro; riceve una coppia di questi, l’uno ritardato di $\tau *$ rispetto all'altro e potenzialmente inquinati dal disturbo, li moltiplica tra loro o in modo analogico o in modo digitale, ne integra il prodotto per fornire in uscita una tensione od un valore numerico $C(\tau )$, funzione del ritardo $\tau$ generato nel correlatore, che indica il grado di coerenza dei segnali ed il loro stato rispetto al rumore.

I correlatori sono definiti da due tipi di algoritmi:

• Algoritmo di correlazione per segnali analogici
• Algoritmo di correlazione per segnali digitali

Algoritmo per segnali analogici

$C(\tau )$ per: $F_{1}=7000\ Hz\ ;\ F_{2}=10000\ Hz$ $\tau *=500\ \mu s$

L'algoritmo calcola la funzione di correlazione analogica $C(\tau )$ tra due segnali di rumore di ampiezza $S$ , definiti in banda di frequenza $F_{1}\ ,\ F_{2}$ ritardati l'uno dall'altro di un tempo $\tau *$. Il valore massimo di $C(\tau )$ si avrà per $\tau \ =\ \tau *$

$C(\tau )=S\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \$

Lo sviluppo di $C(\tau )$ per:

$S=1$

$F_{1}=7000\ Hz$

$F_{2}=10000\ Hz$

$\tau *=500\ \mu s$

dove $DF=(F_{2}-F_{1})/2\ \ e\ \ Fo=(F_{2}+F_{1})/2$

trova il massimo di $C(\tau )$ per $\tau =500\ \mu s$

Il trattamento dei segnali con il correlatore analogico consente il massimo guadagno nel rapporto $S/N$. rispetto ad altri modelli di correlazione; ciò al prezzo di una complessa implementazione nei sistemi di calcolo.

Disturbi nella correlazione analogica

$C(\tau )$ affetta da rumore tracciata per una coppia dimostrativa $S/N;RC$.

L'ampiezza della $C(\tau )$ dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore, il disturbo $N$ ne provoca un'ondulazione anomala, ondulazione tanto più ampia quanto il rapporto $S/N$ è piccolo.

L'algoritmo che consente il calcolo dell'ampiezza dell'ondulazione $Nv$ all'uscita del correlatore, definita come varianza, è dato dall'espressione:

$Nv={\sqrt[{}]{\frac {(S^{2}+N^{2})^{2}+S^{4}}{4\cdot RC\cdot DF}}}$

dove:

$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.

$S$ = è l'ampiezza dei segnali applicati

$N$ = è l'ampiezza del rumore che inquina il segnale

$RC$ = è la costante di tempo d'integrazione, espressa in secondi, facente parte del sistema di correlazione.

Le grandezze di $S;N;Nv$, per un correlatore di tipo analogico, sono in volt eff.

L'ampiezza della varianza $Nv$ dipende, oltre che dal rapporto $S/N$, anche dal valore della costante di tempo $RC$, maggiore il valore di $RC$ minore ne è l'ampiezza.

Il valore di $RC$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce. Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.

Algoritmo per segnali digitali

Curva tipica di $C(\tau )_{x}$ tracciata per $K=1\ ;\quad DF=2000\ Hz$ ; $F_{o}=3000\ Hz$; ascisse $1000\ \mu s.$ fondo scala; massimo per $800\ \mu s.$

L'algoritmo calcola la funzione di correlazione digitale $C(\tau )_{x}$ tra due segnali $S$ di rumore limitati in ampiezza tra $0\ e\ +1$ definiti in banda di frequenza $F_{1}\ ,\ F_{2}$ ritardati l'uno dall'altro di un tempo $\tau *$. Il valore massimo di $C(\tau )_{x}$ si avrà per $\tau \ =\ \tau *$

$C(\tau )_{x}=(2/\pi )\arcsin \left[K\ {\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \$

L'algoritmo di correlazione o funzione di correlazione digitale $C(\tau )_{x}$ mostra la legge di variazione dell'ampiezza del segnale d'uscita di un correlatore.

dove:

$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.

$F_{o}$ = frequenza media della banda.

$K$ = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali $S$ e l’ampiezza del disturbo $N$ secondo l’espressione: $K={\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}$

Il massimo della curva indica che i segnali applicati al correlatore sono tra loro coerenti; l'ascissa del massimo, indica il valore del ritardo esistente tra i due segnali.

Il trattamento dei segnali con la funzione indicata porta ad una perdita di circa $3\ dB$ sul rapporto $S/N$ rispetto al precedente trattamento analogico; con il vantaggio, molto importante, di una notevole semplificazione dell'hardware e dei processi di calcolo.

Disturbi nella correlazione digitale

Curva tipica di $C(\tau )_{x}$ per $S/N=1/2.5$

 

Variazione $C(\tau )_{x}$ per $S/N$ variabile da $S/N=1/1000$ $(-\ 60\ dB)$ a $S/N=1000$ $(+\ 60\ dB)$

L'ampiezza della $C(\tau )_{x}$, nel correlatore digitale, non dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore ma dal disturbo $N$ che ne provoca una riduzione, riduzione tanto più penalizzante quanto il rapporto $S/N$ è piccolo.

Per rapporti $S/N$ elevati la funzione $C(\tau )_{x}$ ha ampiezza elevata e segue il profilo della funzione $\arcsin x$.

Per rapporti $S/N$ bassi la funzione $C(\tau )_{x}$ ha ampiezza bassa e segue il profilo della funzione $\sin x/x$.

L'algoritmo che consente il calcolo della variazione d'ampiezza della $C(\tau )_{x}$ per $\tau =0$, è dato dall'espressione:

$C(0)_{x}={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}$

Se il disturbo $N$ è assente $K=1$ e la $C(\tau )_{x}$ ha il massimo valore.

Se il disturbo $N$ è presente l'ampiezza della $C(\tau )_{x}$ si riduce sensibilmente.

Il processo di correlazione digitale genera un rumore d'uscita $Ni$, indicato come varianza, indipendente dall'ampiezza dei rumori d'ingresso, sempre presente all'uscita di un correlatore di questo tipo.

$Ni$ è governato dall'algoritmo:

$Ni=(2/\pi ){\sqrt[{}]{\frac {1}{6/7\cdot 4\cdot RC\cdot DF}}}$

L'ampiezza della varianza $Ni$ dipende dal valore della costante di tempo $RC$, maggiore il valore di $RC$ minore ne è l'ampiezza.

Il valore di $RC$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.

Per $S/N$ decrescente la $C(\tau )_{x}$ decresce fino al suo azzeramento.

Variabili probabilistiche

Nell'impiego degli algoritmi di correlazione, per rapporti $S/N$ molto piccoli, intervengono altre serie di variabili non deterministiche:

$Priv=x\ \%$, percentuale di probabilità di rivelare il segnale

$Pfa=y\ \%$, percentuale di probabilità che il rumore provochi una falsa presenza di un segnale

Il legame tra queste e il rapporto $S/N$ dipende da un caratteristico parametro probabilistico $d$.

L’impiego delle variabili probabilistiche presenta alcune difficoltà per chi non è addetto agli studi di statistica; un ragionevole approccio semplificativo è sviluppato nel testo di Urick

Il parametro $d$ è legato alle espressioni:

$d=f(Priv,Pfa)$

e

$({\frac {S}{N}})^{4}={\frac {d}{2RC(f_{2}-f_{1})}}$

dove:

$RC$ è la costante d'integrazione del correlatore

$f_{2}-f_{1}$ è la larghezza di banda del ricevitore

Il valore del parametro $d$ è fondamentale nel calcolo delle portate di scoperta del sonar.

Note

Annotazioni

Fonti

Bibliografia

• (EN) James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• (EN) James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, The application of correlation techniques to acoustic receiving systems, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 28), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• C. Del Turco, La correlazione, Tip. Moderna La Spezia, 1992.

• (EN) Robert J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

Collegamenti esterni

N° FASCI Selenia

Sonar FALCON

Schemi sonar FALCON

Testo discorsivo sul sonar

Testo tecnico sulla Correlazione