Analisi matematica > Algebra dei limiti
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In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.
Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)
modifica
⇒
)
{\displaystyle \Rightarrow )}
. Supponiamo che
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
tenda a
λ
{\displaystyle \lambda }
, per
x
→
x
0
{\displaystyle x\to x_{0}}
. Sia poi
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
una successione in
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle A\setminus \{x_{0}\}}
convergente a
x
0
{\displaystyle x_{0}}
.
Per la definizione di limite abbiamo
∀
L
∈
I
λ
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
∈
L
,
∀
x
∈
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H}
.
Inoltre, siccome la successione converge
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo
∀
H
∈
I
x
0
∃
m
∈
N
:
x
n
∈
H
,
∀
n
>
m
{\displaystyle \forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ x_{n}\in H,\ \forall n>m}
.
Per come definita la successione
(
x
n
:
N
→
A
∖
{
x
0
}
)
{\displaystyle \left(x_{n}:\mathbb {N} \to A\setminus \{x_{0}\}\right)}
, i termini della successione stanno tutti in
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle A\setminus \{x_{0}\}}
ma anche in
H
{\displaystyle H}
(perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, abbiamo che
x
n
∈
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
{\displaystyle x_{n}\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H}
Di conseguenza,
f
(
x
n
)
∈
L
{\displaystyle f(x_{n})\in L}
per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in
L
{\displaystyle L}
per ogni
n
>
m
{\displaystyle n>m}
. Riassumendo
∀
L
∈
I
λ
∃
m
∈
N
:
f
(
x
n
)
∈
L
,
∀
n
>
m
{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in L,\ \forall n>m}
⇔
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
λ
{\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda }
.
⇐
)
{\displaystyle \Leftarrow )}
. Supponiamo ora che
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
λ
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda }
e che questo valga per ogni successione in
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle A\setminus \{x_{0}\}}
convergente a
x
0
{\displaystyle x_{0}}
.
Per provare che anche
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda }
, ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque
¬
(
∀
L
∈
I
λ
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
∈
L
,
∀
x
∈
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
)
⇔
{\displaystyle \neg {\Bigg (}\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H{\Bigg )}\Leftrightarrow }
∃
L
∈
I
λ
:
∀
H
∈
I
x
0
∃
x
∈
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
:
f
(
x
)
∉
L
{\displaystyle \exists L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }:\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\ :\ f(x)\not \in L}
.
Definiamo poi
H
n
:=
{
]
x
0
−
1
n
,
x
0
+
1
n
[
,
x
∈
R
]
n
,
+
∞
[
,
x
=
+
∞
]
−
∞
,
−
n
[
,
x
=
−
∞
{\displaystyle H_{n}:={\begin{cases}\left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[,\ x\in \mathbb {R} \\]n,+\infty [,\ x=+\infty \\]-\infty ,-n[,\ x=-\infty \end{cases}}}
e
A
n
:=
{
x
∈
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
:
f
(
x
)
∉
L
}
{\displaystyle A_{n}:=\left\{x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\ :\ f(x)\not \in L\right\}}
.
Notiamo subito che
A
n
≠
∅
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle A_{n}\neq \emptyset ,\ \forall n\in \mathbb {N} }
perché
H
n
{\displaystyle H_{n}}
è sempre diverso dal vuoto (in forza di
∀
H
∈
I
x
0
{\displaystyle \forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}}
nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un
H
n
=
∅
{\displaystyle H_{n}=\emptyset }
, altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di
x
0
{\displaystyle x_{0}}
) ed inoltre
A
n
⊆
A
∖
{
x
0
}
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle A_{n}\subseteq A\setminus \{x_{0}\},\ \forall n\in \mathbb {N} }
.
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione
x
n
:
N
→
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle x_{n}:\mathbb {N} \to A\setminus \{x_{0}\}}
tale che
x
(
n
)
=
x
n
∈
A
n
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle x(n)=x_{n}\in A_{n},\ \forall n\in \mathbb {N} }
. Tale successione implica che ogni suo elemento sta in
H
n
{\displaystyle H_{n}}
ma
f
(
x
n
)
∉
L
{\displaystyle f(x_{n})\not \in L}
.
Da qui si deduce che la successione converge a
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ma
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(x_{n})}
non tende a
λ
{\displaystyle \lambda }
, contraddicendo l'ipotesi.
◻
{\displaystyle \Box }
Sia
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
,
f
,
g
:
A
→
R
{\displaystyle f,g:A\to \mathbb {R} }
,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
un punto di accumulazione di
A
{\displaystyle A}
e
x
0
∈
R
¯
{\displaystyle x_{0}\in {\overline {\mathbb {R} }}}
.
Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.
Se
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda }
e
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu }
, allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
λ
+
μ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=\lambda +\mu }
.
Infatti, consideriamo una successione in
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle A\setminus \{x_{0}\}}
convergente a
x
0
{\displaystyle x_{0}}
. Per il Lemma precedente, siccome
f
(
x
)
→
λ
{\displaystyle f(x)\to \lambda }
e
g
(
x
)
→
μ
{\displaystyle g(x)\to \mu }
, anche
f
(
x
n
)
→
λ
{\displaystyle f(x_{n})\to \lambda }
e
g
(
x
n
)
→
μ
{\displaystyle g(x_{n})\to \mu }
, per
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
. Allora (applicando l'algebra delle successioni ) abbiamo che
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
+
g
(
x
n
)
=
λ
+
μ
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})+g(x_{n})=\lambda +\mu }
.
Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
λ
+
μ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=\lambda +\mu }
.
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
λ
μ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \ \ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu \ \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=\lambda \mu }
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
,
g
(
x
)
≠
0
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
μ
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \ \ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu ,\ g(x)\neq 0\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},\mu \neq 0}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
λ
μ
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lambda }{\mu }}}
Limite di funzioni che tendono a infinito
modifica
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty (-\infty )}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty (-\infty )}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty }
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
−
∞
(
+
∞
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=-\infty (+\infty )}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=-\infty }
Limite di infinito per un reale
modifica
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu }
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu >0}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty }
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
μ
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu <0}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty }
Limite del reciproco di una funzione
modifica
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
±
∞
,
f
(
x
)
≠
0
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty ,\ f(x)\neq 0\forall x\in A\setminus \{x_{0}\}}
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
,
f
(
x
)
>
0
(
<
0
)
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=0,\ f(x)>0(<0)\forall x\in A\setminus \{x_{0}\}}
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
+
∞
(
−
∞
)
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=+\infty (-\infty )}
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle f(x)\leq g(x),\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\}}
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
⇒
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty }
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle f(x)\leq g(x),\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\}}
⟹
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
−
∞
⇒
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=-\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty }