Probabilità discreta

lezione
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Probabilità discreta
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica Applicata
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%

Definizioni preliminari

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Siano  , definiamo

Unione di eventi

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  : evento di S che contiene tutti gli esiti di A e/o di B.

Intersezione di eventi

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  : evento di S che contiene tutti gli esiti presenti sia in A che in B.

Insieme vuoto

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  : evento che non contiene esiti.

Eventi mutuamente esclusivi (o disgiunti)

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Se  

Eventi complementari

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Sia  

Nota bene:  

Proprietà

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Siano  

  •  
  •  

Unione di eventi

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Siano  

 

Definizione assiomatica di probabilità

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Assiomi di Kolmogorov

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Dato un esperimento che preveda più esiti possibili e a cui è associato uno spazio campione  , e dato un evento  , si definisce probabilità di  :

 

Assioma 1

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Assioma 2

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Assioma 3

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Dati   mutuamente esclusivi (o disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

In formule:

 

Probabilità condizionata

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Problema della rovina del giocatore

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Descrizione del problema

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A e B giocano lanciando una moneta. Se esce testa (T), B da una moneta ad A. Viceversa se esce croce (C).

Il gioco continua fino a quanto uno dei due giocatori rimane senza monete.

Sia   il numero di monete posseduto inizialmente da A e   il numero di monete possedute da B.

Qual è la probabilità che vinca A, cioè che B resti senza monete?

Senza fare un'analisi approfondita, è abbastanza intuitivo pensare che chi inizialmente ha più monete abbia più probabilità di vincere. Dipenderà inoltre dal numero di tutte le monete presenti in gioco.

Analisi del problema

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Sia l'evento A = 'A vince',  , al turno  -esimo.

Per sussistere il problema, è necessario che venga effettuato almeno un lancio  .

Siano inoltre:

  •  
  •  

T e C sono una partizione dello spazio campione, quindi è possibile applicare il teorema della probabilità totale.

 

  poiché se è uscito testa A riceve una moneta, ha quindi   monete

Stesso ragionamento si applica con  .

Osservazione:  

Dall'equazione di prima riprendiamo che

 

con  , altrimenti A non può mai vincere.